[論文レビュー] Primitive prime divisor elements in finite classical groups

Cheryl E. Praeger|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限古典群における原始的素因数（ppd）要素を導入し、有限体上の古典的行列群を識別するランダム化アルゴリズムにおけるその中心的役割を確立する。ppd要因が十分に頻度が高く、効率的にテスト可能であることを証明することで、著者たちは、群論的構造と効率的な多項式算術を活用し、高い確率で与えられた群が古典群 $Ω$ を含むかどうかを特定するモンテカルロアルゴリズムを可能にした。

ABSTRACT

This is an essay about a certain family of elements in the general linear group GL(d,q) called primitive prime divisor elements, or ppd-elements. A classification of the subgroups of GL(d,q) which contain such elements is discussed, and the proportions of ppd-elements in GL(d,q) and the various classical groups are given. This study of ppd-elements was motivated by their importance for the design and analysis of algorithms for computing with matrix groups over finite fields. An algorithm for recognising classical matrix groups, in which ppd-elements play a central role is described.

研究の動機と目的

• ${\rm GL}(d,q)$ 内の古典的行列群を識別するためのランダム化アルゴリズムを開発し、原始的素因数（ppd）要素をその主要な構成要素とする。
• ${\rm GL}(d,q)$ の部分群のうち、ppd要素を含むものについて分類し、アルゴリズム設計のための構造的解析を可能にする。
• 古典群におけるppd要素の割合を推定し、少数のランダムサンプルで高い検出確率を得られるようにする。
• ppd要素を識別するための効率的な計算的テストを提供し、実装に不可欠な要素とする。
• 標準的なppd要素が存在しない小次元ケースに対処するため、修正された要素タイプを用いて認識アルゴリズムを拡張する。

提案手法

• アルゴリズムは、特定のppd要素を検出するために群の要素を独立にランダムサンプリングする。ppd要素の存在は、古典群 $Ω$ の存在を示唆する。
• ppd要素は、$i < d$ に対して $q^i - 1$ を割り切らない素因数を順序に持つ要素として定義される。
• 多項式算術を用いて、${\rm GF}(q)[t]/\langle f(t)\rangle$ 内で $g^{(q^e - 1)/\Phi(e,q)} \equiv 1 \pmod{f(t)}$ かどうかをテストすることで、ppd性質を検証する。
• 1要素のテストコストは、$\omega$ を行列乗算指数とするとき、$O(d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)})$ ビット演算で抑えられる。
• 失敗確率が $\varepsilon$ より小さいようにするには、$O(\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)$ 個のランダム要素が必要である。
• 標準的なppd要素が存在しない小次元の場合、基本的または大きなppd要素に拡張され、テストと解析が修正される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\rm SL}(d,q)$, ${\rm Sp}(d,q)$, ${\rm O}^\pm(d,q)$ のような古典群におけるppd要素の割合はいかほどか。
• RQ2 ${\rm GL}(d,q)$ の部分群のうち、ppd要素を含むものはどれか。また、それらをどのように分類できるか。
• RQ3 ppd要素はどの程度効率的に計算的にテスト可能か。その性質を検証するコストはいかほどか。
• RQ4 ppd要素を用いたランダム化アルゴリズムは、高い確率で古典群を信頼性高く識別できるか。失敗率は低いか。
• RQ5 標準的なppd要素が小次元で存在しない場合、アルゴリズムはどのように適合できるか。

主な発見

• ${\rm GL}(d,q)$ および古典群におけるppd要素の割合は、$d$ と $q$ に依存する定数で下から抑えられ、少数のサンプルで高い検出確率が保証される。
• ランダムに選ばれた要素がppd要素かどうかをテストするコストは、$O(d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)})$ ビット演算で抑えられ、$d$ や $q$ が大きくても実用的である。
• 古典群認識アルゴリズムは、失敗確率が $\varepsilon$ より小さいようにするため、$O(\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)$ 個のランダム要素を用い、総コストは $O((\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)(\mu + d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)}))$ ビット演算で抑えられる。
• 本アルゴリズムは大規模な古典群を効果的に認識できた：${\rm SL}(5000,2)$ は200 MHzワークステーションで約3214 CPU秒、${\rm SL}(10000,2)$ は約14334 CPU秒を要した。
• 標準的なppd要素が欠落する小次元ケースでは、基本的または大きなppd要素を用いた修正されたアルゴリズムが有効であることが、[33] で示された。
• 本アルゴリズムは Magma および GAP に実装されており、その複雑性解析は、群論および計算代数分野における類似手法の強固な基盤を提供する。