[論文レビュー] Private Function Computation for Noncolluding Coded Databases

Sarah A. Obead, Hsuan-Yin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Advanced Data Storage Technologies参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非協力的符号化データベースにおけるプライベート関数計算（PPC）の容量を達成するスキームを提案し、多変数多項式計算に焦点を当てる。リード・ソロモン符号および体系的ラグランジュ符号化を用いた、線形（PLC）および高次多項式計算のための新規プロトコルを導入し、特にメッセージ数が増加する漸近的領域において、最適または顕著に改善された計算レートを達成する。

ABSTRACT

Private computation in a distributed storage system (DSS) is a generalization of the private information retrieval (PIR) problem. In such setting a user wishes to compute a function of $f$ messages stored in $n$ noncolluding coded databases, i.e., databases storing data encoded with an $[n,k]$ linear storage code, while revealing no information about the desired function to the databases. We consider the problem of private polynomial computation (PPC). In PPC, a user wishes to compute a multivariate polynomial of degree at most $g$ over $f$ variables (or messages) stored in multiple databases. First, we consider the private computation of polynomials of degree $g=1$, i.e., private linear computation (PLC) for coded databases. In PLC, a user wishes to compute a linear combination over the $f$ messages while keeping the coefficients of the desired linear combination hidden from the database. For a linearly encoded DSS, we present a capacity-achieving PLC scheme and show that the PLC capacity, which is the ratio of the desired amount of information and the total amount of downloaded information, matches the maximum distance separable coded capacity of PIR for a large class of linear storage codes. Then, we consider private computation of higher degree polynomials, i.e., $g>1$. For this setup, we construct two novel PPC schemes. In the first scheme, we consider Reed-Solomon coded databases with Lagrange encoding, which leverages ideas from recently proposed star-product PIR and Lagrange coded computation. The second scheme considers the special case of coded databases with systematic Lagrange encoding. Both schemes yield improved rates, while asymptotically, as $f ightarrow \infty$, the systematic scheme gives a significantly better computation retrieval rate compared to all known schemes up to some storage code rate that depends on the maximum degree of the candidate polynomials.

研究の動機と目的

• 線形符号によってデータを格納する非協力的符号化データベースにおけるプライベート関数計算（PPC）スキームの開発を目的とする。
• 線形符号化分散ストレージシステムにおけるプライベート線形計算（PLC）の最適通信レート（容量）を達成することを目的とする。
• ラグランジュおよび体系的符号化技術を用いて、高次多項式（g > 1）のための効率的なPPCプロトコルを設計することを目的とする。
• 計算レトリーブレートを分析・改善することを目的とし、特にメッセージ数 f → ∞ の漸近的領域において焦点を当てる。
• 提案スキームが既知のレートを達成または上回ることを示すこと、特に体系的ラグランジュ符号化データベースにおいて顕著である。

提案手法

• 最大距離分離（MDS）符号化PIR容量を活用することで、線形符号化データベースにおける容量を達成するPLCスキームを提案し、既知のMDS-PIR容量と一致する。
• スターファイルドPIRおよびラグランジュ符号化計算にインspiredされた、リード・ソロモン符号化データベースを用いた新規なPPCスキームを導入する。
• 体系的符号化データベースに特化した第二のPPCスキームを構築し、効率的なクエリ設計と冗長性の低減を可能にする。
• 多項式関数とその単項式基底との間の決定的線形写像を用いて依存関係をモデル化し、重複するクエリを排除する。
• 組合せ的クエリグループ化（グループ1およびグループ2）を適用し、線形依存性に基づいて重複するクエリタイプを同定・削除する。
• 再帰的クエリ構築戦略を採用し、目的関数評価が既知である場合にグループ2のクエリをグループ1のクエリの線形結合として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形符号化データベース上でのプライベート線形計算（PLC）は、MDS-PIR容量に達成可能か。その場合、どのような条件下で達成可能か？
• RQ2 構造的符号化を用いた符号化データベースにおいて、g > 1 のプライベート多項式計算（PPC）を効率的に実現する方法は何か？
• RQ3 ラグランジュ符号化を施したリード・ソロモン符号化データベースにおけるPPCの実現可能な計算レトリーブレートは何か？また、既存の手法と比較してどうか？
• RQ4 体系的ラグランジュ符号化は、特に漸近的領域においてPPCのレート性能にどのように影響を与えるか？
• RQ5 線形依存性解析を用いて、PPCにおける重複するクエリタイプを体系的に同定・削除することは可能か？

主な発見

• 提案されたPLCスキームは、線形ストレージ符号の広いクラスにおいてMDS符号化PIR容量に達し、既知の理論的限界と一致する。
• ラグランジュ符号化を施したリード・ソロモン符号化データベースにおいて、提案されたPPCスキームは、特に低コードレート領域で、既存手法よりも計算レトリーブレートを向上させる。
• 体系的ラグランジュ符号化PPCスキームは、f → ∞ の漸近的領域において顕著に優れた計算レトリーブレートを達成し、与えられた最大多項式次数gに対して、すべての既知のスキームを上回る。
• グループ2における重複クエリタイプの数は、クエリ間の線形依存性を同定することで削減され、τ和の重複タイプ数は (μ−r choose τ) で与えられる。
• 導出されたクエリの冗長性低減は、多項式関数とその単項式基底との間の決定的線形写像の下で有効であり、効率的なクエリ設計を可能にする。
• 提案されたスキームは最適または近最適なレートを達成し、体系的スキームは漸近的領域において理論的限界に近づく。