[논문 리뷰] Probabilistic interpretation for solutions of fully Nonlinear Stochastic PDEs

Anis Matoussi, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 78인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 생성자에 대한 리프시츠 조건 하에서 두 번째 차수의 역으로 이중 확률적 미분 방정식(2BDSDEs)에 대한 잘 정의된 이론을 수립하며, 해의 존재성과 유일성을 증명한다. 2BDSDE의 마코프 해를 통해 완전히 비선형 확률적 편미분 방정식(SPDEs)의 고전적 및 확률적 점성 해에 대한 확률적 해석을 제공하며, 비선형 페인만–칸의 공식을 완전히 비선형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we propose a wellposedness theory for a class of second order backward doubly stochastic differential equation (2BDSDE). We prove existence and uniqueness of the solution under a Lipschitz type assumption on the generator, and we investigate the links between our 2BDSDEs and a class of parabolic fully nonLinear Stochastic PDes. Precisely, we show that the Markovian solution of 2BDSDEs provide a probabilistic interpretation of the classical and stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수의 역으로 이중 확률적 미분 방정식(2BDSDEs)의 잘 정의된 이론을 개발하는 것.
• 2BDSDEs와 포물형 완전히 비선형 확률적 편미분 방정식(SPDEs) 사이의 연결을 수립하는 것.
• 완전히 비선형 SPDEs에 대한 고전적 및 확률적 점성 해의 확률적 표현을 제공하는 것.
• 2BDSDEs를 사용하여 비선형 페인만–칸의 공식을 완전히 비선형 케이스로 확장하는 것.
• 완전히 비선형 SPDEs에 대한 점성 해의 정의와 해법에 오랫동안 남아 있던 과제를 해결하는 것.

제안 방법

• 생성자가 리프시츠 조건을 만족하는 두 번째 차수의 역으로 이중 확률적 미분 방정식(2BDSDEs)의 클래스를 수립한다.
• 반복 사상의 고정점 원리를 바나흐 수축정리에 기반하여 2BDSDEs의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 스넬의 초과 및 선택 정리를 적용하여 해 과정을 왼쪽 연속 오른쪽 극한이 존재하는 초마르팅게일로 특성화한다.
• 이토의 마르팅게일 표현 정리를 활용하여 해를 예측 가능한 과정 $ Z $ 와 제어 과정 $ K $ 로 표현한다.
• 파르두와 펜의 이중 확률적 프레임워크에 일치하는 $ \overleftarrow{W}_t $ 에 대한 역확률 적분에 의존한다.
• 2BDSDE의 마코프 해가 관련 SPDE의 확률적 점성 해와 대응됨을 보여 이중으로 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자에 대한 리프시츠 조건 하에서 두 번째 차수의 역으로 이중 확률적 미분 방정식(2BDSDEs)에 대해 잘 정의된 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 2BDSDE의 해가 완전히 비선형 SPDEs의 고전적 및 확률적 점성 해에 대한 확률적 해석을 제공하는가?
• RQ3 비선형 페인만–칸의 공식은 어떻게 완전히 비선형 SPDE 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 해를 특성화하는 데 있어 역확률 적분 $ \int g \cdot d\overleftarrow{W}_t $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ5 해 과정의 성질(예: 왼쪽 연속 오른쪽 극한이 존재하는, 점진적으로 가측적, $ \mathcal{F}_t $-적응적)은 확률적 설정에서 점성 해 개념과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 생성자에 대한 리프시츠 조건 하에서 2BDSDE는 바나흐 고정점 정리에 의해 유일한 해를 가진다.
• 해 과정 $ Y $ 는 $ \mathbb{G} $-점진적으로 가측적이고, 왼쪽 연속 오른쪽 극한이 존재하며, $ \mathbb{D}^2(\mathbb{P}) $ 에 속하여 정규성과 적분 가능성을 보장한다.
• $ \bar{Y}_\cdot + \int_0^\cdot f(s)ds $ 는 왼쪽 연속 오른쪽 극한이 존재하는 초마르팅게일이며, 그 극한이 해 과정 $ Y $ 를 이룬다. 이는 필요한 동적 프로그래밍 조건을 만족한다.
• 해 $ Y $ 는 식 $ Y_t = \text{ess sup}_{\tau \geq t} \mathbb{E}\left[ \int_t^\tau f(s)ds + \bar{S}_\tau \mathbf{1}_{\{\tau < T\}} + \bar{\xi} \mathbf{1}_{\{\tau = T\}} \,\middle|\, \mathcal{G}_t \right] - \int_0^t g(s) \cdot d\overleftarrow{W}_s $ 를 만족하여 동적 특성화를 확인한다.
• 마르팅게일 성분을 나타내는 과정 $ Z $ 는 $ \mathcal{F}_t $-가측적이며, 필터링과 일치하는 적응성과 일관성을 보장한다.
• 해는 수직 조건 $ \int_0^T (Y_s - S_s) dK^c_s = 0 $ 를 만족하여 국소 시간 $ K^c $ 가 최소 제어 성질을 가짐을 확인한다.