[論文レビュー] Probabilistic normed spaces with non necessarily continuous triangle functions

Bernardo Lafuerza–Guillén, José L. Rodrı́guez|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2004

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、非連続な三角関数を伴う一般化されたセルシュネフ確率的ノルム空間（pre-PN空間）に関する結果を拡張し、ファジィノルム空間とセルシュネフPN空間の間の関係を確立し、位相的ベクトルPN空間がF-ノルム可能かつパラノルム可能であることを証明するとともに、局所凸なものは生体的であることを示し、連続線形作用素の有界集合による特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

The motivation of this paper is a suggestion by Hole of comparing the notions of $\D$-boundedness and boundedness in Probabilistic Normed spaces (briefly PN spaces), with non necessarily continuous triangle functions. Such spaces are here called ``pre-PN spaces''. Some results on Serstnev spaces due to B. Lafuerza, J. A. Rodriguez, and C. Sempi, are here extended to generalized Serstnev spaces (these are pre-PN spaces satisfying a more general Serstnev condition). We also prove some facts on PN spaces (with continuous triangle functions). First, a connection between fuzzy normed spaces defined by Felbin and certain Serstnev PN spaces is established. We further observe that topological vector PN spaces are $F$-normable and paranormable, and also that locally convex topological vector PN spaces are bornological. This last fact allows to describe continuous linear operators between certain generalized Serstnev spaces in terms of bounded subsets.

研究の動機と目的

• 非連続な三角関数を伴うpre-PN空間におけるD-有界性と有界性の関係を調査すること。
• 三角関数の連続性要件を緩和することで、セルシュネフ空間を一般化し、一般化されたセルシュネフpre-PN空間を導入すること。
• フェルビンのファジィノルム空間と特定のセルシュネフ型PN空間との間の関係を確立すること。
• 特にF-ノルム可能性、パラノルム可能性、および局所凸な場合の生体性を含む、PN空間の位相的性質を分析すること。
• 生体的構造を用いて、有界部分集合を通じて一般化されたセルシュネフ空間間の連続線形作用素を特徴付けること。

提案手法

• 三角関数の連続性を要件としない確率的ノルム空間としてpre-PN空間を導入する。
• 非連続な三角関数に適用可能な一般化されたセルシュネフ条件を適応する。
• 関数解析的技法を用いて、位相的ベクトルPN空間のF-ノルム可能性とパラノルム可能性を証明する。
• 局所凸位相的ベクトルPN空間における生体的性質を応用し、連続線形作用素の特徴付けを行う。
• 確率的ノルム構成を通じて、ファジィノルム空間（フェルビン）と特定のセルシュネフPN空間との対応関係を確立する。
• ラティスおよび確率的距離空間理論を用いて、一般化されたPN空間における有界性と連続性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非連続な三角関数を伴うpre-PN空間において、D-有界性と有界性はどのように関係するか？
• RQ2 セルシュネフ型PN空間は、非連続な三角関数を含むように一般化可能であり、その際に主要な構造的性質を保持できるか？
• RQ3 フェルビンのファジィノルム空間とセルシュネフPN空間との間の明確な関係は何か？
• RQ4 一般化されたセルシュネフ条件のもとで、位相的ベクトルPN空間はF-ノルム可能かつパラノルム可能か？
• RQ5 局所凸位相的ベクトルPN空間における生体的性質は、連続線形作用素の特徴付けにどのように寄与するか？

主な発見

• 位相的ベクトルPN空間はF-ノルム可能かつパラノルム可能であり、既知の結果を非連続な三角関数にまで拡張した。
• 局所凸位相的ベクトルPN空間は生体的であるため、連続線形作用素を有界集合を通じて特徴付けられる。
• 確率的ノルム構成を通じて、フェルビンのファジィノルム空間と特定のセルシュネフPN空間クラスとの直接的な関係が確立された。
• 非連続な三角関数が存在しても、pre-PN空間において一般化されたセルシュネフ条件が成立し、より広範な適用可能性が得られた。
• 一般化されたフレームワークのもとで、pre-PN空間におけるD-有界性と有界性の関係が解明された。
• 局所凸PN空間における生体的構造は、有界集合を用いた線形作用素の連続性の解析に、位相的道具として機能する。