[論文レビュー] Probing the entanglement of operator growth

Dimitrios Patramanis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2021

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Krylov複雑度、エンタングルメント負の値、フォン・ノイマンエントロピー、エンタングルメント容量といった量子情報ツールを用いて、SU(1,1)およびSU(2)対称性をもつ量子系における演算子の成長を調査する。2モードコherent状態を用いることで、普遍的演算子成長仮説と整合する普遍的特徴を示し、Lanczosアルゴリズムを回避できる対称性に基づく手法が、計算を著しく簡素化するとともに、主要な動的洞察を保持できることを示している。

ABSTRACT

In this work we probe the operator growth for systems with Lie symmetry using tools from quantum information. Namely, we investigate the Krylov complexity, entanglement negativity, von Neumann entropy and capacity of entanglement for systems with SU(1,1) and SU(2) symmetry. Our main tools are two-mode coherent states, whose properties allow us to study the operator growth and its entanglement structure for any system in a discrete series representation of the groups under consideration. Our results verify that the quantities of interest exhibit certain universal features in agreement with the universal operator growth hypothesis. Moreover, we illustrate the utility of this approach relying on symmetry as it significantly facilitates the calculation of quantities probing operator growth. In particular, we argue that the use of the Lanczos algorithm, which has been the most important tool in the study of operator growth so far, can be circumvented and all the essential information can be extracted directly from symmetry arguments.

研究の動機と目的

• Lie対称性をもつ量子系における演算子成長のエンタングルメント構造とダイナミクスを調査すること。
• Krylov複雑度やエンタングルメント負の値といった量子情報測度が、SU(1,1)およびSU(2)対称性をもつ系において普遍的行動を示すかどうかを検証すること。
• 特に2モードコherent状態を用いた対称性に基づく手法が、演算子成長のプローブを計算する際、Lanczosアルゴリズムを置き換えられることを示すこと。
• 演算子成長の文脈において、共形場理論の構成とコherent状態表現との直接的な関連を確立すること。

提案手法

• 本研究では、SU(1,1)およびSU(2)群における変換性を活かして、演算子成長の分析に2モードコherent状態を基底として用いる。
• Krylov複雑度は、Krylov部分空間における演算子の時間発展を用いて計算され、明示的なLanczos再帰を回避するため、対称性に適合した状態が用いられる。
• エンタングルメント負の値、フォン・ノイマンエントロピー、エンタングルメント容量は、コherent状態分解から得られる縮約密度行列を用いて評価される。
• 著者らは、チャノニカルな一次元演算子とモード展開を用いて、共形場理論の技術を用いてSU(1,1)コherent状態を構成する。
• 最高重み状態に位相変位演算子 $ D(\xi) = e^{\xi L_{-1} - \bar{\xi}L_1} $ を適用することで、既知のモード係数をもつコherent状態が生成される。
• 得られた状態係数はCFTの2点関数から導かれる。その結果、$ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $ が得られ、対称性に基づく構成と一致する。

Figure 1: Krylov complexity for systems with SU(1,1) symmetry as a function of $r$ . The curves depicted are for $n_{0}=0,1,2,3,4,5$ . We observe that for bigger $n_{0}$ the exponential rise of the complexity starts sooner.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Krylov複雑度やエンタングルメント負の値といった量子情報プローブは、SU(1,1)およびSU(2)対称性をもつ系において普遍的行動を示すか？
• RQ2 群の対称性とコherent状態表現を活用することで、Lanczosアルゴリズムを回避して演算子成長を計算できるか？
• RQ3 カオス的（SU(1,1)）と可積分的（SU(2)）な系において、エンタングルメント構造と複雑度成長はどのように異なるか？
• RQ4 共形場理論の技術を用いることで、演算子成長研究で用いられる同じコherent状態構造をどの程度再構成できるか？
• RQ5 2モードコherent状態は、演算子時間発展の全エンタングルメントおよび複雑度ダイナミクスをどのように符号化しているか？

主な発見

• Krylov複雑度、エンタングルメント負の値、フォン・ノイマンエントロピー、エンタングルメント容量は、両方のSU(1,1)およびSU(2)系において、普遍的演算子成長仮説と整合する普遍的特徴を示した。
• 2モードコherent状態の使用により、Lanczosアルゴリズムを明示的に用いずに、すべての主要な演算子成長プローブを直接計算可能となり、計算が著しく簡素化された。
• SU(1,1)系では、CFTから得られたコherent状態係数が対称性に基づく構成と一致し、$ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $ が得られ、一貫性が確認された。
• 演算子成長のエンタングルメント構造は、基盤となる対称性に敏感であり、SU(1,1)（カオス的）はSU(2)（可積分的）よりも速い成長と高いエンタングルメントを示した。
• 正規化因子 $ e^{ah} = (1 - |z|^2)^h $ はCFTの2点関数から導かれた。これにより、共形不変性を用いたコherent状態構成が妥当であることが裏付けられた。
• 結果として、対称性に基づく手法が、Lanczosアルゴリズムのような数値的手法に代わる強力で効率的な代替手段を提供することが確認された。

Figure 2: $\varphi_{n}$ as function of $n$ . The chosen parameters for this graph are $n_{0}=2$ and $r$ takes values from 1 to 2.6 in steps of 0.2. This is essentially the spreading of the wavefunction that was observed in earlier works.