[論文レビュー] Problems on geometric structures of projective embeddings

Takeshi Usa|ArXiv.org|Jan 3, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的幾何的類似物としての『幾何的シェル』という概念を用いて、射影埋め込みにおける幾何的組成系列を提案する。これは群論におけるJordan-Hölder系列の類似物である。無限小の持ち上げにおける高次の障害を扱うための新規な道具が導入され、第二基本形式およびLefschetz型作用素を用いた微分幾何的基準による算術正規性の簡略化された証明が得られる。

ABSTRACT

This is a survey of our research on geometric structures of projective embeddings and includes some topics of our talks in several symposia during 1990-99. We clarify our main problem, which is to construct a kind of geometric composition series of projective embeddings. The concept of "geometric composition series" is an analogy in Algebraic Geometry with Jordan-Hölder series in Group Theory. We present two of the candidates for the construction problem. To approach this problem, we show several results and new tools for handling higher obstructions appearing in infinitesimal liftings. As a byproduct of the tools, we obtain a simplified proof for a criterion on arithmetic normality described in terms of Differential Geometry. (Keywords): Petri's analysis, Second fundamental form, Syzygy, Arithmetic normality, Infinitesimal lifting, Geometric shell, Geometric composition series, Lefschetz chain, Dual Lefschetz chain, Meta-Lefschetz operator.

研究の動機と目的

• 群論におけるJordan-Hölder系列に類似した、射影埋め込みのための幾何的組成系列の構築。
• 包摂する中間的な環境多様体を同定し、それらが埋め込みを特徴付ける特別な幾何的性質を持つことの特定。
• 特に滑らかさまたはコhomological制約の下で、このような中間的多様体が存在する条件の明確化。
• 第二基本形式および算術正規性を通じて、代数幾何と微分幾何の間の関係の確立。
• 新規な無限小道具および障害理論を用いて、既存の算術正規性基準の簡略化。

提案手法

• サイジージモジュール間のTor写像が単射である中間的な環境多様体の候補として『幾何的シェル』の概念を導入。
• コhomological構造および持ち上げ障害の分析に、Lefschetz作用素およびメタ-Lefschetz作用素を適用。
• 第二基本形式およびヘルミート接続を用いて、微分幾何学と無限小変形理論を関連。
• LFT（Liftable First-order Theory）障害類 $ \overline{\delta}^{(0)}_{LFT} $ を用いて、セクションの持ち上げ失敗を検出。
• 階数付き最小自由分解およびTor函子を用いて、座標環 $ R_X $ のサイジージを研究。
• 仮定 $ q(X) = 0 $ の下でホッジ理論および消去定理（例：$ H^1(N^ullet_X) = 0 $）を適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御されたサイジージ的およびコhomological的性質を持つ中間的な環境多様体を用いて、射影埋め込みにおける幾何的組成系列を構築可能か？
• RQ2 滑らかな中間的な環境多様体が射影埋め込みに沿って存在するための条件は何か？
• RQ3 第二基本形式は、射影的部分多様体の算術正規性とどのように関係するか？
• RQ4 幾何的および微分幾何的道具を用いて、無限小持ち上げにおける高次の障害クラスをどの程度制御できるか？
• RQ5 新規な障害理論的アプローチを用いて、算術正規性の基準をより簡潔に再証明可能か？

主な発見

• 第3節で導入された新規な無限小道具を用いて、算術正規性基準の簡略化された証明が得られた。
• すべての一般な $ D \in |O_X(m)| $ に対して、$ r_D(\sigma_{II}(X)) \in H^1(N_{D/X} \otimes N^ullet_X|_D) $ の消失が、$ q(X) = 0 $ かつ $ n \geq 2 $ の下で算術正規性と同値であることが示された。
• 障害類 $ \overline{\delta}^{(0)}_{LFT}(\tau_D) \in H^1(X, N^ullet_X(m)) $ が消失するための必要十分条件は、セクション $ \tau_D $ が第一階無限小近傍に持ち上がることである。
• 幾何的組成系列の存在は、すべての段階でTor写像の単射性を満たす幾何的シェルの鎖の存在と関連している。
• 重み付き射影およびメタ-Lefschetz作用素の枠組みの使用により、高次の障害に対する構造的アプローチが可能となった。
• 第二基本形式 $ \sigma_{II}(X) = [B] $ が $ \overline{\partial} $-閉であり、無限小環拡張類を定義することが示され、幾何学とコhomologyの間の関係が明確化された。