[논문 리뷰] Product between ultrafilters and applications to the Connes' embedding problem

Valerio Capraro, Liviu Păunescu|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초필터 사이의 새로운 곱 연산을 도입하여 콘네스의 임베딩 문제를 해결하며, 초선형 군의 초곱이 여전히 초선형임을 보여준다. 또한, 가산기수를 초월하는 생성자를 가진 자유군의 볼레르 반군이 $ R^\omega $에 임베드됨을 증명하고, 프로파인 작용을 통한 초선형 군의 교차곱이 $ R^\omega $에 임베드 가능하다는 것을 보이며, 초선형 쌍을 통한 초선형성의 새로운 특성화를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we want to apply the notion of product between ultrafilters to answer several questions which arise around the Connes' embedding problem. For instance, we will give a simplification and generalization of a theorem by Radulescu; we will prove that ultraproduct of hyperlinear groups is still hyperlinear and consequently the von Neumann algebra of the free group with uncountable many generators is embeddable into $R^ω$. This follows also from a general construction that allows, starting from an hyperlinear group, to find a family of hyperlinear groups. We will introduce the notion of hyperlinear pair and we will use it to give some other characterizations of hyperlinearity. We will prove also that the cross product of a hyperlinear group via a profinite action is embeddable into $R^ω$.

연구 동기 및 목표

• 초연산자 대수학에서 초필터 간의 새로운 곱 연산을 도입하여 콘네스의 임베딩 문제를 해결하는 것.
• 초필터 곱을 사용하여 라두레스쿠의 초선형 군 정리의 일반화 및 단순화를 시도하는 것.
• 초선형 군의 초곱이 여전히 초선형임을 증명함으로써, $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $가 $ R^\omega $에 임베드됨을 암시하는 것.
• 초선형 쌍의 개념을 도입하고, $ R^\omega $의 추적을 통해 초선형성을 특성화하는 데 사용하는 것.
• 프로파인 작용을 통한 초선형 군의 교차곱이 $ R^\omega $에 임베드 가능하다는 것을 보이는 것.

제안 방법

• 반복 극한을 이용해 $ I \times J $ 위의 초필터의 텐서곱 $ \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ 를 정의한다: $ X \in \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ 이면 $ \{i \in I : \{j \in J : (i,j) \in X\} \in \mathcal{V} \} \in \mathcal{U} $.
• 반복 초극한과 동시 초극한을 바꾸는 데 사용할 수 있는 등가 조건 $ \lim_{i \to \mathcal{U}} \lim_{j \to \mathcal{V}} x_i^j = \lim_{(i,j) \to \mathcal{U} \otimes \mathcal{V}} x_i^j $ 를 사용한다.
• 중앙 쌍 $ (G_n, \varphi_n) $ 의 초곱을 $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) = (\Pi_n G_n / N, \lim_\omega \varphi_n) $ 로 정의한다. 여기서 $ N = \{(g_n) : \lim_\omega \varphi_n(g_n) = 1\} $.
• 초선형 쌍 $ (G, \varphi) $ 는 $ \ast $-준동형사상 $ \theta_\varphi: G \to U(R^\omega) $ 가 존재하여 $ \tau(\theta_\varphi(g)) = \varphi(g) $ 를 만족하는 중심 쌍으로 정의한다.
• 등식 $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $ 를 적용하여 초곱에 의한 $ R^\omega $ 속 임베딩을 이전한다.
• 프로파인 작용을 사용하여 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 를 유한차원 교차곱들의 합집합으로 분해하고, 각각이 $ R^\omega $에 임베드 가능하다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초필터의 곱 연산을 사용하여 기존의 초선형 군 및 콘네스 임베딩 문제에 대한 결과들을 단순화하거나 일반화할 수 있는가?
• RQ2 초선형 군의 초곱이 스스로 초선형인가? 이는 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ 가 $ R^\omega $에 임베드됨을 어떻게 암시하는가?
• RQ3 초선형 쌍의 개념이 표준 정의를 초월하여 초선형성을 새롭게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 프로파인 작용 $ \alpha $ 를 가진 교차곱 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 가 언제 $ R^\omega $에 임베드 가능한가?
• RQ5 모든 형식의 군 $ G(\omega, \mathcal{I}) $ 는 특정한 관계를 가진 군의 가군의 초곱으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 등식 $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $ 를 통해 초선형 군의 초곱이 초선형임을 보였고, 이는 추적 조건을 유지함을 의미한다.
• 가산기수를 초월하는 생성자를 가진 자유군 $ \mathbb{F}_{\aleph_c} $ 는 초선형이며, 그 볼레르 반군 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ 는 $ R^\omega $에 임베드된다.
• 초선형 쌍 $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) $ 의 초곱은 스스로 초선형 쌍이며, 초극한에 의한 추적 조건이 유지된다.
• 모든 $ G $ 가 초선형이고 $ \alpha $ 가 프로파인 작용이라면, 교차곱 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 는 $ R^\omega $에 임베드 가능하다.
• $ R^\omega $ 의 비분리성은 가산기수를 초월하는 초선형 군의 존재성에 의해 강화되며, 이 비분리성은 콘네스 임베딩 추측이 성립하기 위해 필수적이다.