[論文レビュー] Product of Random Stochastic Matrices

Behrouz Touri, Angelia Nedich|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、時間変動するリャプノフ関数を用いた動的システム枠組みを導入することで、独立な確率的行確率行列の積の概収束を確立する。また、確率的連鎖のクラス $π^{*}$ を導入し、連結な無限フローグラフを持つバランス型で強周期的でない連鎖が、ランク1の確率的行列に収束することを証明する。これは、時不変マルコフ連鎖における古典的ペロン＝フロベニウス結果を一般化する。

ABSTRACT

The paper deals with the convergence properties of the products of random (row-)stochastic matrices. The limiting behavior of such products is studied from a dynamical system point of view. In particular, by appropriately defining a dynamic associated with a given sequence of random (row-)stochastic matrices, we prove that the dynamics admits a class of time-varying Lyapunov functions, including a quadratic one. Then, we discuss a special class of stochastic matrices, a class $\Pstar$, which plays a central role in this work. We then introduce balanced chains and using some geometric properties of these chains, we characterize the stability of a subclass of balanced chains. As a special consequence of this stability result, we obtain an extension of a central result in the non-negative matrix theory stating that, for any aperiodic and irreducible row-stochastic matrix $A$, the limit $\lim_{k o\infty}A^k$ exists and it is a rank one stochastic matrix. We show that a generalization of this result holds not only for sequences of stochastic matrices but also for independent random sequences of such matrices.

研究の動機と目的

• 独立な確率的行確率行列の積の収束条件を、動的システムのアプローチを用いて確立すること。
• 時不変マルコフ連鎖における $A^k$ がランク1の行列に収束する古典的結果を、確率的かつ時不変でない連鎖の状況に拡張すること。
• 行列積の収束を保証する確率的連鎖のクラス $π^{*}$ を導入し、その特徴づけを行うこと。
• 多くの既存のモデルを含む広範なクラスとして、バランス型連鎖を定義し、その性質を明らかにすること。
• 無限フローグラフの幾何的性質と確率的行列積の安定性・収束性との関係を明らかにすること。

提案手法

• 時間変動する確率的行列によって駆動される離散時間動的システムとして、確率的行確率行列の積を形式化する。
• 安定性の解析に向け、時間変動する二次形式リャプノフ関数を導入し、任意の独立な確率的連鎖に対してその存在を証明する。
• 行列積が概収束する連鎖のクラス $π^{*}$ を定義する。
• 無限フローグラフに関する幾何的条件と正のバランス係数 $\alpha > 0$ を用いてバランス型連鎖を定義する。
• 連結な無限フローグラフを持つバランス型連鎖は $\mathcal{P}^{*}$ に属することを示し、収束が保証されることを示す。
• 無限フロー性質と $\ell_1$-近似技術を用いて、行列積の極限挙動を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立な確率的行確率行列の積が概収束するための条件は何か？
• RQ2 確率的行列によって駆動される確率的平均化ダイナミクスに対して、時間変動するリャプノフ関数をどのように構成できるか？
• RQ3 無限フローグラフとバランス型性が、確率的行列積の収束を保証する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ4 $A^k$ がランク1の行列に収束する古典的結果を、i.i.d. でないおよび時不変でない連鎖に拡張できるか？
• RQ5 確率的連鎖の文脈において、既約性、非周期性、および確率的行列積の収束性の関係は何か？

主な発見

• 独立な確率的行確率行列の系列によって駆動される任意のダイナミクスは、時間変動する二次形式リャプノフ関数を有する。
• 行列積の概収束の必要十分条件によって特徴づけられるクラス $\mathcal{P}^{*}$ が、確率的連鎖のクラスとして定義される。
• 正のバランス係数 $\alpha$ を用いて定義されるバランス型連鎖は、多くの既知の確率的行列モデルを含む広範なクラスを形成する。
• 確率的連鎖がバランス型であり、強周期的で、無限フローグラフが連結であれば、積 $W(k:t_0)$ は概収束してランク1の確率的行列に収束する。
• ${\mathbb{E}[W(k)]}$ の無限フローグラフが $\tau$ 個の連結成分に分解される場合、積は概収束してランクが $\tau$ 以下の行列に収束する。
• 主結果は、古典的ペロン＝フロベニウス定理を一般化する：任意のバランス型で強周期的な連鎖 $\{A(k)\}$ に対して、$\lim_{k\to\infty}A(k:t_0)$ の極限が存在し、かつランク1であるための必要十分条件は、無限フローグラフが連結であることである。