[論文レビュー] Products and coequalizers in pointed categories

Michael Hoefnagel|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限積が任意の余同型類を可換にする（性質Pを満たす）点付き普遍代数の多様体を特徴付けるマリツェフ項条件を確立する。さらに、各点のファイブレーションの各ファイバーがPを満たすようなPの局所版を満たす多様体は、ちょうど正規局所射影を持つものであり、ガムのシフト補題の変種と同値なマリツェフ条件を示す。主たる貢献は、特定の項と恒等式を用いた完全な代数的特徴づけである。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the property (P) that finite products commute with arbitrary coequalizers in pointed categories. Examples of such categories include any regular unital or (pointed) majority category with coequalizers, as well as any pointed factor permutable category with coequalizers. We establish a Mal'tsev term condition characterizing pointed varieties of universal algebras satisfying (P). We then consider categories satisfying (P) locally, i.e., those categories for which every fibre $Pt_{\mathbb{C}}(X)$ of the fibration of points $π: Pt_{\mathbb{C}} ightarrow \mathbb{C}$ satisfies (P). Examples include any regular Mal'tsev or majority category with coequalizers, as well as any regular Gumm category with coequalizers. Varieties satisfying (P) locally are also characterized by a Mal'tsev term condition, which turns out to be equivalent to a variant of Gumm's shifting lemma. Furthermore, we show that the varieties satisfying (P) locally are precisely the varieties with normal local projections in the sense of Z. Janelidze.

研究の動機と目的

• 有限積が任意の余同型類と可換である性質(P)を満たす点付き多様体を特徴付けること。
• 点のファイブレーションの各ファイバーがPを満たすようなPの局所版を調査し、既知の圏論的性質と関連づけること。
• Pが一般の多様体においてマリツェフ項条件として特徴付け可能かどうかを特定し、ガムのシフト補題および合同関係のモジュラリティとの関係を検討すること。
• P、正規射影、および局所正規射影の間の関係を明確にすること。
• Pが正規射影をもつ多様体よりも厳密に強いことを示し、減法的多様体における反例を提示すること。

提案手法

• 点付き圏における性質(P)を導入：2つの余同型類図式の積が余同型類である。
• 特定の恒等式を満たす二項項 bi(x,y)、単項項 ci(z)、および (m+2) 項項 pi を含むマリツェフ項条件を確立する。
• 各対象 X に対してファイブレーションのファイバー PtC(X) を定義するため、点のファイブレーション π: Pt(C) → C を用いる。
• 余同型類の合成に関する補題1および積の余同型類に関する補題2を適用し、同値条件を証明する。
• 有効な同値関係およびエッグ・ボックス性質に依拠し、合同関係の条件を用いてPを特徴付ける。
• 引き戻しおよびファイバー内での積射影の構造を用いて、Pの局所版が正規局所射影をもつことと同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pを満たす点付き多様体を特徴付ける代数的条件（項と恒等式の観点から）は何か？ ここでPとは、積と余同型類が可換である性質を指す。
• RQ2 点のファイブレーションの各ファイバーで有効であるPの局所版は、正規局所射影などの既知の圏論的性質とどのように関係するか？
• RQ3 一般の多様体においてPはマリツェフ条件と同値か？ もし同値でなければ、その理由は何か？
• RQ4 Pはガムのシフト補題の変種と見なせるか？ これは合同関係のモジュラリティにどのような含意を持つのか？
• RQ5 正規射影をもつがPを満たさない多様体は存在するか？ もしあるならば、その障害は何か？

主な発見

• 点付き多様体がPを満たすための必要十分条件は、二項項 bi(x,y)、単項項 ci(z)、および (m+2) 項項 pi が存在し、次の恒等式系を満たすことである：p1(x,y,b1,…,bm) = x、pi(y,x,b1,…,bm) = pi+1(x,y,b1,…,bm)、pn(y,x,b1,…,bm) = y、および pi(0,0,c1(z),…,cm(z)) = z。
• Pの局所版が成り立つのは、ジャネリッドゼが定義する正規局所射影をもつときである。
• Pを局所的に満たす多様体は、任意の引き戻し A×X B に対して、(x,u)C(y,u) ならば任意の同値関係 C について (x,v)C(y,v) が成り立つものであり、これはエッグ・ボックス性質の変種である。
• Pの局所的マリツェフ条件は、ガムのシフト補題の変種と同値であり、Pを合同関係のモジュラリティと結びつける。
• すべての正規射影をもつ多様体がPを満たすわけではない。減法的多様体において、2つの正規エピモルフィズムの積が正規でない例が反例として与えられている。
• 単位的環の圏はPを満たすが、これは点付きではないため、Pが非点付きの文脈でも成立しうることを示しており、本稿の焦点は点付き多様体に限られる。