[論文レビュー] Products and countable dense homogeneity

Andrea Medini|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、マーティンの公理（MA）の下で、ゼロ次元で可算稠密的同一型（CDH）な空間 $X$ を構成し、$X^2$ が CDH でないことを示している。これは、可算稠密的同一型性が有限積において保存されないことを示している。構成には、$\beth_1$ 個の反復による強制的組合的技法が用いられ、$X$ は、$2^\omega$ の位相同型写像に関して閉じた集合の和集合として構成される。これにより $X$ が CDH である一方で、ラヴレントイェフ拡張の議論を用いて $X^2$ 上の不必要な同型写像を巧みに避ける。

ABSTRACT

Building on work of Baldwin and Beaudoin, assuming Martin's Axiom, we construct a zero-dimensional separable metrizable space $X$ such that $X$ is countable dense homogeneous while $X^2$ is not. It follows from results of Hrušák and Zamora Avilés that such a space $X$ cannot be Borel. Furthermore, $X$ can be made homogeneous and completely Baire as well.

研究の動機と目的

• 有限積における可算稠密的同一型性（CDH）が保存されるか否かを解明すること。特にゼロ次元空間において。
• 反例の構成：集合論的仮定の下で、$X^2$ が CDH でない CDH 空間 $X$ を構成すること。
• Hrušák と Zamora Avilés の Borel CDH 空間に関する結果を用いて、このような空間 $X$ が Borel でないことを示すこと。
• $X$ が単調的かつ完全 Baire にできるかを検討し、基本的な CDH 性質を越えて構成を拡張すること。

提案手法

• 各 $\alpha$ に対して、$2^\omega$ の位相同型写像に関して閉じた集合 $X_\alpha$ の和集合として $X$ を構成する、$\beth_1$ 長の反復による強制的構成を用いる。
• 各段階 $\alpha$ において、$X_\alpha$、$Y_\alpha$、および不必要な同型写像を保存する可能性のある集合 $C_h^i$ の逆像を避けるように、$T_\alpha \subseteq 2^\omega \times 2^\omega$ 内の点 $(x,y)$ を選ぶ。
• 任意の仮想の同型写像 $f: X^2 \to X^2$ が $f[Q^2] = D$ を満たす場合、ラヴレントイェフ定理を用いてそれを $G_\delta$ 集合 $T_\alpha$ に拡張できることを示し、$X \times X$ に属さない点への写像によって矛盾を導く。
• 密度条件を用いて $X$ が $\mathsf{CDH}$ であることを保証する：$X_\beta \setminus (A_\beta \cup B_\beta)$ が $2^\omega$ において $\max\{|\beta|, \omega\}$-稠密である。これにより部分同型写像を拡張可能となる。
• 位相同型写像に関して閉じる操作と、$\mathbb{Q}$ のコピーが埋め込まれないことを保証する、ベルンシュタイン集合に類似た性質を用いて、$X$ が完全 Baire かつ単調的であるように構成する。
• $\mathsf{MA}(\sigma\text{-centered})$ を用いて、各段階ですべての重要な集合を避ける点 $(x,y)$ の存在を保証する。これは $\mathfrak{c}$ の非可算性と、$|\mathcal{H}|$、$|X_\alpha|$、$|Y_\alpha|$ の小ささに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論的仮定（例：$\mathsf{MA}$）の下で、ゼロ次元 CDH 空間 $X$ が存在し、$X^2$ が CDH でないことは可能か？
• RQ2 CDH 空間の積に関する定理における Borel 仮定は必要か？非 Borel CDH 空間が存在し、その積が CDH でないことは可能か？
• RQ3 このような空間 $X$ は、Borel でないにもかかわらず、単調的かつ完全 Baire にできるか？
• RQ4 $\mathsf{MA}(\sigma\text{-centered})$ は、このような反例を構成するのに十分か？より強い仮定が必要か？
• RQ5 どの $\kappa \geq 3$ に対して、$X^n$ がすべての $n < \kappa$ に対して CDH であるが $X^\kappa$ は CDH でないような空間 $X$ が存在するか？

主な発見

• $\mathsf{MA}(\sigma\text{-centered})$ の下で、ゼロ次元で $\mathsf{CDH}$ な空間 $X$ が存在し、$X^2$ は $\mathsf{CDH}$ でない。これは $\mathsf{CDH}$ 性が生産的でないことを示している。
• Hrušák と Zamora Avilés の結果により、すべての Borel $\mathsf{CDH}$ 空間はクラス $\mathcal{C}$ に属するが、$X$ はそのクラスに属さないため、$X$ は Borel ではない。
• メディニのベルンシュタイン集合に関する先行研究の手法を応用することで、$X$ を単調的かつ完全 Baire にできることを示した。
• 構成には $\beth_1$ 長の反復を用い、$X = \bigcup_{\alpha < \mathfrak{c}} X\_\alpha$ とすることで、位相同型写像に関して閉じており、望ましくない拡張を避ける。
• $X^2$ が CDH でないことは、背理法によって示される：任意の同型写像 $f: X^2 \to X^2$ で $f[Q^2] = D$ を満たすものがあれば、$G_\delta$ 集合 $T_\alpha$ に拡張可能だが、その拡張は点 $\pi_0(g_\alpha(x,y)) \notin X$ へ写像するため、$f[X^2] \subseteq X^2$ に矛盾する。
• 構成により、$\mathcal{H}[X_\alpha \cup \{x,y\}] \cap \mathcal{H}[Y_\alpha \cup \{\pi_0(g_\alpha(x,y))\}] = \varnothing$ が保証され、このような同型写像の存在がブロックされる。