[論文レビュー] Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties

Xuhua He, Thomas Lam|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 26被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、部分旗多様体 $G/P$ 内の射影的リチャードソン多様体とアフィン旗多様体 $\widetilde{Fl}$ 内のアフィンシューベルト多様体の間で、深い組合せ論的およびコhomologicalな対応を確立する。射影的リチャードソン多様体の閉包順序は、Iwahori-Weyl群内の適切な集合 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ の部分集合と順序反転同型であることが示され、これらの多様体の $K$-理論的類はアフィングラスマンニアンへの引き戻しによって関連づけられ、以前のグラスマンニアンに関する結果を任意のコミヌスキュル $G/P$ に一般化する。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex quasi-simple algebraic group and $G/P$ be a partial flag variety. The projections of Richardson varieties from the full flag variety form a stratification of $G/P$. We show that the closure partial order of projected Richardson varieties agrees with that of a subset of Schubert varieties in the affine flag variety of $G$. Furthermore, we compare the torus-equivariant cohomology and $K$-theory classes of these two stratifications by pushing or pulling these classes to the affine Grassmannian. Our work generalizes results of Knutson, Lam, and Speyer for the Grassmannian of type $A$.

研究の動機と目的

• 部分旗多様体 $G/P$ 内の射影的リチャードソン多様体の閉包順序とアフィン旗多様体 $\widetilde{Fl}$ 内のアフィンシューベルト多様体の部分集合との間の組合せ論的対応を確立すること。
• アフィングラスマンニアンへの引き戻しを用いて、射影的リチャードソン多様体とアフィンシューベルト多様体のトーラス-equivariantコホモロジーおよび $K$-理論的類を比較すること。
• Knutson, Lam, Speyer によるグラスマンニアンに関する結果を、任意のコミヌスキュル旗多様体 $G/P$ に一般化すること。
• 「偽」ユニタリシムーラ多様体の局所モデルの特別ファイバー上の有理点の数に対する閉じた公式を提示すること。

提案手法

• 射影的リチャードソン多様体のposetからIwahori-Weyl群の適切な集合への写像 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$ を定義し、これが順序反転かつ $t^{-\lambda}$ の $W \times W$-二重コセットに値をとることを示す。
• コクセター群のデマズール（モノイダル）積の性質を用いて、poset $Q_J$ の組合せ論的構造と $\mathrm{Adm}(\lambda)$ との関係を分析する。
• 空間のストラティフィケーション $Z_J$, $G/P$, $\widetilde{Fl}$ 間の写像を構成し、組合せ論的同型を幾何的に説明する。
• アフィングラスマンニアンへの押し出し $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$ を用いて、$K$-理論的比較を確立し、$G/P$ 内の構造層類を $\widetilde{Fl}$ 内のそれらに結びつける。
• 写像 $p: G/P \hookrightarrow \mathrm{Gr}_\lambda$ と合成 $\mathrm{Gr} \simeq \Omega K \to LK \to LK/T_{\mathbb{R}} \simeq \widetilde{Fl}$ を用いて、$K$-理論的類を関連付ける。
• poset $Q_J$, $\Omega_J$, $Q'_J$ が明示的な順序保存同型 $f$, $g$, $h$ によって組合せ的に同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分旗多様体 $G/P$ 内の射影的リチャードソン多様体の閉包順序は、アフィン旗多様体 $\widetilde{Fl}$ 内のアフィンシューベルト多様体のブルア位相とどのように関係するか？
• RQ2 射影的リチャードソン多様体の $K$-理論的類は、幾何的引き戻しを用いてアフィンシューベルト多様体のそれらと関連づけられるか？
• RQ3 射影的リチャードソン多様体のposet $Q_J$ とIwahori-Weyl群内の適切な集合 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ の間に組合せ論的同型が存在するか？
• RQ4 '偽'ユニタリシムーラ多様体の局所モデルの特別ファイバー上の有理点の数は何か？
• RQ5 これらのストラティフィケーションのコホモロジー的および $K$-理論的構造は、$G/P$ と $\widetilde{Fl}$ の間でどのように比較できるか？

主な発見

• 写像 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$ は順序反転単射であり、その像は $t^{-\lambda}$ の $W \times W$-二重コセットである。$\lambda$ が最小的（minuscule）であるとき、これは順序反転双対写像に拡張される。
• $Q_J$, $\Omega_J$, $Q'_J$ のposetは、明示的な順序保存同型 $f$, $g$, $h$ によって組合せ的に同値である。
• 射影的リチャードソン多様体 $\Pi^x_y$ の構造層の $K$-理論的類は、対応するアフィンシューベルト多様体 $\psi^{\theta(x,y)}$ の $K$-理論的類への引き戻しに等しく、すなわち $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$ が成り立つ。
• '偽'ユニタリシムーラ多様体の局所モデルの特別ファイバー上の有理点の数は、最小的 $\lambda$ に対する $\mathrm{Adm}(\lambda)$ の列挙から得られる閉じた公式で与えられる。
• $Q_J$ と $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 間の組合せ論的同型は、局所モデルの正規性およびコーン＝マコーレイ・ネスの証明において中心的な役割を果たす。
• 本稿の結果は、Knutson, Lam, Speyer によるグラスマンニアンにおける $K$-理論的およびコホモロジー的比較を、任意のコミヌスキュル旗多様体 $G/P$ に一般化する。