[論文レビュー] Projective multiresolution analyses for dilations in higher dimensions

Judith Packer|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$C(\mathbb{T}^n)$ 上の有限生成射影加群を用いて、$n \geq 3$ の次元における波形カーネルフレームの射影的マルチレゾリューション解析（pMRA）を構築する。これは、$n=2$ の既存の研究を一般化したものであり、倍率行列が整数成分を持つ場合に、波形部分空間 $W_j$ のモジュールフレームを拡大および平行移動作用素を用いて生成する手法を導入する。$n=3$ および単位行列のスカラー倍の場合、任意の有限生成射影 $C(\mathbb{T}^3)$-加群が初期加群 $V_0$ として利用可能であり、$V_0$、$V_1$、$W_0$ のすべてが非自由加群である例も構成される。主な貢献は、高次元における非自由で射影的な波形モジュールフレームの体系的構成である。

ABSTRACT

We continue the study of projective module wavelet frames corresponding to diagonal dilation matrices on $\mathbb R^n$ with integer entries, focusing on the construction of a projective multi-resolution analysis corresponding to dilations whose domains are finitely generated projective modules over continuous complex-valued functions on $n$-tori, $n\geq 3$. We are able to generalize some of these results to dilation matrices that are conjugates of integral diagonal dilation matrices by elements of $SL(n,\mathbb Z).$ We follow the method proposed by the author and M. Rieffel, and are able to come up with examples of non-free projective module wavelet frames which can be described via this construction. As an application of our results, in the case $n=3,$ when the dilation matrix is a constant multiple of the identity, we embed every finitely generated module as an initial module.

研究の動機と目的

• $n \geq 3$ の次元における倍率行列が整数成分を持つ場合の射影的マルチレゾリューション解析（pMRA）理論を $n=2$ から拡張すること。
• 高次元 $L^2(\mathbb{R}^n)$-型ヒルベルト $C^*$-加群における波形部分空間 $W_j$ のモジュールフレームの構成を一般化すること。
• $n=3$ および単位行列のスカラー倍の場合、任意の有限生成射影 $C(\mathbb{T}^3)$-加群が pMRA の初期加群 $V_0$ として実現可能であることを示すこと。
• $V_0$、$V_1$、および波形加群 $W_0$ がすべて非自由である例を構成し、$2$ 次元の場合には $W_0$ が常に自由であったのとは対照的にすること。

提案手法

• 本稿は、$C(\mathbb{T}^n)$-値内積を備えた $C_c(\mathbb{R}^n)$ の完備化として定義されるヒルベルト $C(\mathbb{T}^n)$-加群 $\Xi$ を用いて、波形空間をモデル化する。
• フーリエ変換を用いて倍率作用素 $D_A$ を乗算作用素 $D = \mathcal{F} \circ D_A \circ \mathcal{F}^*$ に変換し、周波数領域での解析を可能にする。
• モジュール生成子への平行移動作用素 $\varepsilon_v$ および倍率作用素 $D^j$ の作用を用いて、帰納的に $W_j$ のフレームを生成する。
• フレーム要素のインデックスには $\mathbb{Z}^n / A^j(\mathbb{Z}^n)$ の剰余類代表元を用い、文字則および内積恒等式により直交性を保証する。
• もし $W_0$ がランク $r$ の自由加群であれば、$W_j$ はランク $r d^j$ の自由加群であることが、フレーム生成子の正規直交性により証明される。ここで $d = |\det A|$ である。
• 主な技術的道具は、$D^{j+1} \varepsilon_{v_l}(\Psi_k)$ の関係を用いた、$W_j$ のモジュールフレームの帰納的構成である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成射影 $C(\mathbb{T}^n)$-加群を用いて、$n \geq 3$ に対して射影的マルチレゾリューション解析を構築できるか？
• RQ2 この構成を対角行列に同型な倍率行列にまで拡張できるか、特に $SL(n,\mathbb{Z})$ の元による同型変換を伴う場合に限るか？
• RQ3 高次元において、初期加群 $V_0$ および波形加群 $W_0$ がともに非自由 $C(\mathbb{T}^n)$-加群である pMRA を構築できるか？
• RQ4 $n=3$ および $A = cI$ の場合、任意の有限生成射影 $C(\mathbb{T}^3)$-加群が pMRA の初期加群 $V_0$ として実現可能か？
• RQ5 $W_0$ が自由であるとき、波形加群 $W_j$ が自由のままである条件は何か？また、そのランクは $j$ に対してどのように変化するか？

主な発見

• $n=3$ および $A = cI$（単位行列のスカラー倍）の場合、任意の有限生成射影 $C(\mathbb{T}^3)$-加群が射影的マルチレゾリューション解析における初期加群 $V_0$ として埋め込める。
• 本稿は、$V_0$、$V_1$、および波形加群 $W_0$ がすべて有限生成かつ非自由 $C(\mathbb{T}^3)$-加群である pMRA を構築した。これは $n=2$ の場合には観察されなかった、画期的な現象である。
• モジュールフレーム $W_j$ は帰納的に $\{D^j \varepsilon_{v_l}(\Psi_k) \mid 0 \leq l \leq d^j - 1, \; 1 \leq k \leq r\}$ の形で構成され、ここで $\{v_l\}$ は $\mathbb{Z}^n / A^j(\mathbb{Z}^n)$ の剰余類代表元である。
• $W_0$ がランク $r$ の自由加群であれば、$W_j$ はランク $r d^j$ の自由加群であり、$d = |\det A|$ である。フレーム生成子は $C(\mathbb{T}^n)$-加群の意味で正規直交である。
• この構成は、$K$-理論およびモジュールフレーム理論を $n \geq 3$ にまで拡張することで、$2$ 次元の場合の一般化である。特に、$SL(n,\mathbb{Z})$ を用いて対角整数行列に同型な倍率行列に対応する。
• この方法により、$V_0$ およびすべての $W_j$ のモジュールフレームの和集合が、全体空間 $\Xi$ における標準的なモジュールフレームをなすことが保証され、$C(\mathbb{T}^n)$-加群位相において完全性が保証される。