[論文レビュー] Projectively invariant symbol map and cohomology of vector fields Lie algebras intervening in quantization

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|Nov 18, 1996

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ の余接 bundle 上の多項式関数への微分作用素から $sl_{n+1}$-同変な記号写像を構成し、$sl_{n+1}$-加群としての同型を確立する。さらに、$\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ の対称テンソル場への係数付き1次コホモロジーを計算し、$\mathrm{Vect}(M)$-同変な量子化の障害を特定し、これらのコホモロジーが消える最大部分代数として $sl_{n+1}$ が得られることを示す。

ABSTRACT

We define the unique (up to normalization) symbol map from the space of linear differential operators on $R^n$ to the space of polynomial on fibers functions on $T^* R^n$, equivariant with respect to the Lie algebra of projective transformations $sl_{n+1}\subset\Vect(R^n)$. We apply the constructed $sl_{n+1}$-invariant symbol to studying of the natural one-parameter family of $\Vect(M)$-modules on the space of linear differential operators on an arbitrary manifold M. Each of the $\Vect(M)$-action from this family can be interpreted as a deformation of the standard $\Vect(M)$-module $S(M)$ of symmetric contravariant tensor fields on M. We define (and calculatein the case: $M= R^n$) the corresponding cohomology of $\Vect(M)$ related with this deformation. This cohomology realize the obstruction for existence of equivariant symbol and quantization maps. The projective Lie algebra $sl_{n+1}$ naturally appears as the algebra of symmetries on which the involved $\Vect(M)$-cohomology is trivial.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^n$ に作用する射影的リー代数 $sl_{n+1}$ による同変な記号写像を定義すること。
• 一パrameter族による作用の変形を通じて、微分作用素上の $\mathrm{Vect}(M)$-加群構造の変形を研究すること。
• 対称反変テンソル場への係数付き $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ の1次コホモロジー群を計算し、$\mathrm{Vect}(M)$-同変な量子化の障害を捉えること。
• $sl_{n+1}$ がこれらのコホモロジー類が消える最大部分代数であることを示し、この部分代数上での加群構造が自明であることを示すこと。

提案手法

• 射影的ベクトル場の作用を用いて、$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ から $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$ への一意的な $sl_{n+1}$-同変な記号写像を構成する。
• $\mathrm{Vect}(M)$-作用を、密度重み $\lambda$ でパrameter化された、対称テンソル場 $\Gamma(S(TM))$ 上の標準的作用の変形としてモデル化する。
• リー代数コホモロジーの技法を適用し、$H^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n), \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM))))$ を計算し、同変量子化の障害を同定する。
• $sl_{n+1}$-同変な双線形写像 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n) \times \Gamma(S^k(TM)) \to \Gamma(S^l(TM))$ を分類し、高次元へのゴーダン転移の一般化を行う。
• $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{P}^n$, $S^n$, $\mathbb{T}^n$ の射影的構造を用いて、グローバルな $sl_{n+1}$-同変構造を定義する。
• 記号写像を用いて $T^*S^n$ 上の測地線フローを量子化し、曲率に依存するポテンシャルを持つラプラシアン–ベルトラミ作用素を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素から $T^*\mathbb{R}^n$ 上の纤维多項式への一意的な $sl_{n+1}$-同変な記号写像は存在するか？
• RQ2 $\mathrm{Vect}(M)$-加群構造 $\mathcal{D}(M)$ の構造は何か？ そして、対称テンソル場への標準的作用をどのように変形するか？
• RQ3 $\mathrm{Vect}(M)$-同変な量子化写像の存在を妨げるコホモロジー類は何か？
• RQ4 なぜ $sl_{n+1}$ はコホモロジー障害が消える最大部分代数として機能するのか？
• RQ5 $sl_{n+1}$-同変な量子化写像は、測地線フローのハミルトニアン $H = g^{ij}\xi_i\xi_j$ にどのように作用するか？

主な発見

• $\mathbb{R}^n$ 上の $sl_{n+1}$-同変な記号写像は正規化を除いて一意であり、$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ と $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$ 間の $sl_{n+1}$-加群としての同型を与える。
• 1次コホモロジー群 $H^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n), \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM))))$ が計算され、$\mathrm{Vect}(M)$-同変な量子化の障害を分類することが示された。
• $sl_{n+1}$-不変な記号写像は、$n=1$ の場合にコーエン、マニン、ザギエによって構成されたものと一致する。
• $T^*S^n$ 上の測地線フローに対して、$sl_{n+1}$-同変な量子化により $H = g^{ij}\xi_i\xi_j$ は作用素 $A_H = \Delta - \frac{n+1}{12(n+2)}R$ に写される。ここで $R$ はスカラー曲率である。
• $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 上のコホモロジー類 $c_2$ は、変形を支配するものであり、ゲルファンド–フクスコチェインの多次元版である。
• $k$ 個のリー微分の対称化された積の $sl_{n+1}$-同変な記号には明示的な公式が存在し、微分作用素の空間に予期しない代数的構造が明らかになる。