[論文レビュー] Propagating phase boundaries: formulation of the problem and existence via the Glimm scheme

Philippe G. LeFloch|ArXiv.org|Jan 23, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非単調な応力-ひずみ関係を有する弾性材料をモデル化する双曲型-楕円型系に対して、亜音速の相界面に沿う運動関係と新相形成の核化臨界条件を導入することにより、適切に定式化された問題を提示する。Glimmのスキームを用い、相界面収束の精密な解析を組み合わせることで、BV関数における伝搬する相界面を有する許容弱解の存在およびL¹連続的依存性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we consider the hyperbolic-elliptic system of two conservation laws that describes the dynamics of an elastic material governed by a non-monotone strain-stress function. Following Abeyaratne and Knowles, we propose a notion of admissible weak solution for this system in the class of functions with bounded variation. The formulation includes an entropy inequality, a kinetic relation (imposed along any subsonic phase boundary), and an nucleation criterion (for the appearance of new phase boundaries). We prove the L1 continuous dependence of the solution to the Riemann problem. Our main result yields the existence and the stability of propagating phase boundaries. The proof is based on Glimm's scheme and in particular on techniques going back to Glimm-Lax. In order to deal with the kinetic relation, we prove a result of pointwise convergence for the phase boundary.

研究の動機と目的

• 非単調な応力関数を有する弾性材料をモデル化する双曲型-楕円型系における弱解の非一意性を解消すること。
• AbeyaratneとKnowlesのインスピレーションを受けて、亜音速の相界面に沿う運動関係と新相形成の核化臨界条件を組み込むことにより、適切に定式化された問題を構築すること。
• この枠組みにおいて、リーマン問題に対して初期データに対するL¹連続的依存性を確立すること。
• Glimmのスキームを用いて、リーマンケースを超えて小さなBV摂動に対しても、伝搬する相界面を有する許容弱解の存在を証明すること。
• 混合型系における運動関係とエントロピー不等式を通じて、物理的に選択された解の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 許容弱解の定式化として、エントロピー不等式、亜音速の相界面に沿う運動関係、および新相界面の核化臨界条件を含むものとする。
• 初期データが単一の伝搬相界面の小さなBV摂動である場合に、Glimmのスキームを用いて近似解を構成する。
• 相界面の点ごとの収束技術を用い、運動関係を極限で取り扱い、物理的散逸率と整合することを保証する。
• 全 variation に対する一様な有界性を活用して、有界ボレル測度の弱-star位相におけるGlimmスキームの収束を証明する。
• 極限解が分布の意味で完全な系を満たし、運動関係とエントロピー不等式を含むことを確立する。
• 運動関係の片側リプシッツ近似を用いて、臨界速度（例：$V^* = c_3$）における挙動を解析し、極限における連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単調な応力関数を有する双曲型-楕円型系に対して、弱解の固有の非一意性を踏まえて、適切に定式化された問題をどのように構築できるか。
• RQ2 このような系において、運動関係は亜音速の相界面に沿って物理的に意味のある解を選択するために果たす役割は何か。
• RQ3 Glimmのスキームは、運動関係とエントロピー不等式の両方を尊重する解への収束を保証するためにどのように適合可能か。
• RQ4 この非厳密な双曲型設定において、初期データに対する解のL¹連続的依存性を保証する条件は何か。
• RQ5 小さなBV摂動下での、伝搬する相界面を有する解の構造的性質および安定性は何か。

主な発見

• 本稿は、運動関係と核化臨界条件を満たす条件下で、単一の相界面の小さなBV摂動に対して、伝搬する相界面を有する許容弱解の存在を確立する。
• Glimmのスキームによって構築された解は、測度の弱-star位相で収束し、極限においても運動関係が保持される。
• 相界面の点ごとの収束が厳密に証明され、極限過程における運動関係の取り扱いが可能になる。
• 相界面を越えるエントロピー散逸が臨界速度$V^* = c_3$で連続であることが示され、解構造の安定性が保証される。
• リーマン問題に対して初期データに対する解のL¹連続的依存性が証明され、小さな摂動下でも安定性が確認される。
• 制限$V^* \neq 0$は技術的であり、他の手法を用いれば除去可能であり、一般の初期データへの拡張が可能性であることを示唆する。