[論文レビュー] Propagation of internal errors in explicit Runge--Kutta methods and internal stability of SSP and extrapolation methods

David I. Ketcheson, L Lajos+1 more|King Abdullah University of Science and Technology Repository (King Abdullah University of Science and Technology)|Sep 5, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、明示的ルンゲ・クッタ（ERK）法における内部誤差（丸め誤差やソルバの不正確さなど）の伝播を分析し、実装形式が誤差増幅に著しく影響することを示している。最大内部増幅係数を主要な指標として導入し、SSP法および補外法のための境界を導出し、高段数の方法では丸め誤差の増幅が著しく、高精度の目的を損なうことがあることが明らかになった。

ABSTRACT

In practical computation with Runge--Kutta methods, the stage equations are not satisfied exactly, due to roundoff errors, algebraic solver errors, and so forth. We show by example that propagation of such errors within a single step can have catastrophic effects for otherwise practical and well-known methods. We perform a general analysis of internal error propagation, emphasizing that it depends significantly on how the method is implemented. We show that for a fixed method, essentially any set of internal stability polynomials can be obtained by modifying the implementation details. We provide bounds on the internal error amplification constants for some classes of methods with many stages, including strong stability preserving methods and extrapolation methods. These results are used to prove error bounds in the presence of roundoff or other internal errors.

研究の動機と目的

• 明示的ルンゲ・クッタ法の1ステップ内における内部誤差（丸め誤差や代数的ソルバの不正確さなど）の増幅を調査すること。
• 内部誤差伝播が、方法の係数だけでなく、実装形式に強く依存することを示し、代数的に同等の方法が摂動下で同一に動作するとする仮定に疑問を呈すること。
• 高段数の方法における内部安定性多項式の計算および誤差増幅の定量化のための一般枠組みを構築すること。
• 強安定性保存（SSP）法および補外法における内部誤差増幅の境界を提供すること、特に高次元・高精度な計算環境での応用を想定すること。
• 高精度計算における数値精度が内部安定性によって損なわれるおそれがあるかどうかを評価する実用的指標として、最大内部増幅係数を確立すること。

提案手法

• ERK法の実装形式に基づいた内部安定性多項式の一般式を導出し、ブーチャー形式とシュウ＝オーシャー形式の区別を行う。
• 1ステップにおける内部誤差の増幅度を測る指標として、条件数に類似した最大内部増幅係数を導入する。
• 丸め誤差や反復ソルバの残差をモデル化した摂動方程式（5）における誤差伝播を分析する。
• 強安定性保存（SSP）法および補外法（EM）の特定クラスにこの枠組みを適用し、解析的および数値的境界を導出する。
• 複素解析および安定性領域における最適化を用いて、さまざまな次数および段数に対する最大増幅係数を計算または推定する。
• 特に p=2,4,6,8 の補外法に対して、Mathematica などの記号計算を用いて正確な代数的次数および有理数境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実装形式の選択（例：ブーチャー形式 vs. シュウ＝オーシャー形式）が、明示的ルンゲ・クッタ法における内部誤差伝播にどのように影響するか？
• RQ2 強安定性保存（SSP）法および補外法の最大内部増幅係数は何か？ また、次数および段数とどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 内部誤差増幅を切り分け誤差とは独立に境界づけられるか？ また、高精度計算において、それが支配的になる条件は何か？
• RQ4 方法の次数や安定性特性を変更せずに、実装の詳細を変更することで内部安定性をどの程度向上できるか？
• RQ5 高次元補外法において、複素安定性領域、特に左半平面において内部誤差増幅係数はどのように振る舞うか？

主な発見

• 高段数の明示的ルンゲ・クッタ法では、方法が他の点で良好に条件付けられていても、内部誤差の増幅が壊滅的になることがある。
• 2次補外法（p=2）の明示的中点補外法における最大内部増幅係数は約 2.198 であり、次数が増えると急激に増加する：p=8 では約 88.755、p=20 では約 1.11×10⁶ に達する。
• 補外法において、左半平面安定性領域における最大増幅係数は、漸近的に約 1.1524·1.509^p / p とスケーリングされ、次数に伴い指数関数的に増大することが示された。
• z=0 に制限した場合、p=20 の補外法（EM）の増幅係数は約 199.9 に達し、原点付近でも高次スキームでは増幅が顕著であることが示された。
• 内部安定性多項式（およびそれによる誤差増幅）は、代数的に同等の方法であっても、実装の詳細を変更することで変化させられることを示し、実装選択が極めて重要であることを証明した。
• 本研究では、丸め誤差を無視した従来の誤差境界が、高精度計算環境では無効になることが明らかになった。内部誤差増幅が支配的となり、精度を損なうことがある。