[論文レビュー] Properties of codes in rank metric

Pierre Loidreau|ArXiv.org|Oct 11, 2006

Coding theory and cryptography被引用数 41

ひとこと要約

この論文は有限体上のランク距離における符号の基本的性質を調査し、この距離において完全符号が存在しないことを確立している。ランク距離符号に対してギルバート・ヴァルシャモフ型の境界を導出し、ランダム線形符号が漸近的にこの境界に達することを証明するとともに、特にガビデュリン符号を用いて特徴2の体上に準完全符号が存在することを示している。ガビデュリン符号は最適であり、多項式時間でデコード可能である。

ABSTRACT

We study properties of rank metric and codes in rank metric over finite fields. We show that in rank metric perfect codes do not exist. We derive an existence bound that is the equivalent of the Gilbert--Varshamov bound in Hamming metric. We study the asymptotic behavior of the minimum rank distance of codes satisfying GV. We derive the probability distribution of minimum rank distance for random and random $\F{q}$-linear codes. We give an asymptotic equivalent of their average minimum rank distance and show that random $\F{q}$-linear codes are on GV bound for rank metric. We show that the covering density of optimum codes whose codewords can be seen as square matrices is lower bounded by a function depending only on the error-correcting capability of the codes. We show that there are quasi-perfect codes in rank metric over fields of characteristic 2.

研究の動機と目的

• 有限体上のランク距離における符号の構造的および存在的性質を分析すること。
• ハミング距離からの古典的符号理論の結果を拡張し、ランク距離において完全符号が存在するかどうかを特定すること。
• ランク距離符号に対してギルバート・ヴァルシャモフ型の境界を確立し、その漸近的挙動を研究すること。
• ランダム符号および線形符号における最小ランク距離の平均および分布を調査すること。
• 特に正方行列からなる最大ランク距離（MRD）符号の被覆密度と誤り訂正能力を検討すること。

提案手法

• GF(q^m)におけるベクトルの行列表現をGF(q)上のm×n行列として用い、ランクノルムおよび距離を定義する。
• ランクボールの体積近似を用いて、完全符号の非存在性を証明する。
• ランク距離に適応した球詰めの議論を用いて、ギルバート・ヴァルシャモフ型の存在境界を導出する。
• 確率的技法を用いて、ランダムGF(q)-線形符号の平均最小ランク距離を分析する。
• フロベニウス自己同型と線形化多項式を用いて、MRD符号であるガビデュリン符号を構成する。
• 転置不変性を用いて、n ≤ m に限定して解析を簡略化し、符号パラメータの研究を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク距離において完全符号は存在するのか。存在しない場合、その理由は何か？
• RQ2 ランク距離におけるギルバート・ヴァルシャモフ境界の類似物は何か。コードの存在にどのような制約を与えるか？
• RQ3 ランダムGF(q)-線形符号における最小ランク距離は、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 正方行列からなるMRD符号の被覆密度は、誤り訂正能力の観点から下限で抑えられるか？
• RQ5 特に特徴2の体上において、ランク距離における準完全符号は存在するのか？

主な発見

• 球詰めの議論とランクボールの体積近似を用いて、ランク距離において完全符号は存在しないことが示された。
• ランク距離符号に対してギルバート・ヴァルシャモフ型の境界が導出され、与えられた長さと最小距離に対してコードサイズの下界が得られた。
• GV境界上にある符号の漸近的最小ランク距離が長さに比例して増加することを示し、明確な漸近的同値が導出された。
• ランダムGF(q)-線形符号は、最小ランク距離の平均からの逸脱確率が0に近づくため、漸近的にGV境界に達することが示された。
• GF(2^n)上での1誤り訂正MRD符号について、nが増加するにつれて被覆密度が1に近づくことが示され、特徴2における準完全符号の存在が証明された。
• 線形独立な生成ベクトルを用いてGF(2^i)上で構成されたガビデュリン符号が準完全であることが示され、このような符号の存在が確認された。