[論文レビュー] Properties of the static, spherically symmetric solutions in the Jordan, Brans-Dicke theory

S. M. Kozyrev|ArXiv.org|Jul 9, 2002

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、スカラー場と計量成分 $ g_{00} $ の間の特定の関係 $ \phi = e^{a\psi} $ を仮定することで、ジョルダン＝ブラーンズ＝ディック（JBD）理論における正確な静的・球対称解を導出する。圧力 $ p = \varepsilon\rho $ を満たす完全流体の内部解に対して、一般相対性理論に還元されない非シュバルツシルト解が存在し、$ \omega \to \infty $ の極限でも一般相対性理論に還元されないことが示され、JBD理論がこの極限で常にアインシュタイン理論に還元されるという標準的信念に挑戦する。

ABSTRACT

We have studied the properties of the static, spherically symmetric solution of Jordan, Brans-Dicke theory. An exact interior solution for standard space-time line element in the Schwarzschild form is obtained.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論への $ \omega \to \infty $ 近似還元という標準的仮定を超えて、ジョルダン＝ブラーンズ＝ディック（JBD）理論の静的・球対称解を調査すること。
• エネルギー運動量テンソルのトレース $ T = 0 $ のとき、$ \phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\omega) $ という漸近的挙動が成り立つかどうか、特に真空中で成り立つかを検証すること。
• 完全流体に対して $ p = \varepsilon\rho $ を満たす正確な内部解が存在するか、およびアインシュタイン解と異なるかを特定すること。
• 真空中でJBDスカラー場 $ \phi $ が定数でないまま残る条件を調べ、シュバルツシルト解の一意性に与える影響を検討すること。

提案手法

• シュバルツシルト形式の線素要素 $ ds^2 = -e^{\psi}dt^2 + e^{\lambda}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $ を仮定した静的・球対称時空を採用する。
• 座標 $ r $ を $ \psi $ に変換し、$ \lambda $ を $ \psi $ の関数として表現することで、場の運動方程式を簡略化する。
• JBD場の運動方程式の複雑さを軽減するために、スカラー場と時間成分計量の関係 $ \phi = e^{a\psi} $ を仮定する。
• 静的・球対称な仮定の下で場の運動方程式（1）および（2）を導出し、$ p = \varepsilon\rho $ を満たす完全流体のエネルギー運動量テンソルを用いて常微分方程式系を導出する。
• $ \phi = e^{a\psi} $ の条件下で得られた方程式を解き、$ r $、$ \omega $、および定数の関数として $ e^{\psi} $、$ e^{\lambda} $、$ p $、$ \phi $ の明示的表現を得る。
• 真空中（$ \rho = 0 $）での解の振る舞いを分析し、$ \phi = \text{const} $ が場の運動方程式と整合することを示し、ホーキングの定理（シュバルツシルト計量が球対称真空中で唯一の解である）を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー運動量テンソルのトレース $ T = 0 $ のとき、$ \phi = \phi_0 + \mathcal{O}(1/\omega) $ という仮定は成り立つか、それとも $ \mathcal{O}(1/\sqrt{\omega}) $ にまで崩壊するか？
• RQ2 完全流体に対して $ p = \varepsilon\rho $ を満たすJBD理論における正確な内部解が、アインシュタイン解とは異なるものとして導けるか？
• RQ3 JBD理論において $ \omega \to \infty $ の極限でも常にシュバルツシルト解に還元されるのか、あるいは例外があるか？
• RQ4 すべての静的・球対称解に対して $ \phi = e^{a\psi} $ という関係が有効であるか、あるいは $ a $ に制約があるか？
• RQ5 真空中でスカラー場 $ \phi $ が定数でないまま残る条件は何か、そしてその影響がシュバルツシルト解の一意性に与える影響は？

主な発見

• 完全流体の内部解に対して $ p = \varepsilon\rho $ を満たす場合、$ e^{\psi} = \left(-\frac{4\pi r^2 (6+\omega)}{3+2\omega}\right)^{\frac{2(1+\omega)}{2+\omega}} $、$ e^{\lambda} = \frac{6+\omega}{2+\omega} $、$ p = e^{-\psi/2} $、$ \phi = \left(-\frac{4\pi r^2 (6+\omega)}{3+2\omega}\right)^{\frac{1}{2+\omega}} $ という正確な解が得られ、これはアインシュタイン理論には存在しない。
• $ \phi = e^{a\psi} $ かつ $ g_{rr} = 1 $ の場合、$ \psi = c_2 + \frac{2(1+2a)\log\left(r^2(1+4a^2(1+\omega)) + 4(1+2a)c_1\right)}{1+4a^2(1+\omega)} $ が得られ、$ \omega $ および $ a $ に非自明な依存性があることが示される。
• 真空中（$ \rho = 0 $）では、$ \phi = \text{const} $ が場の運動方程式と整合することを示し、ホーキングの定理（シュバルツシルト計量が球対称真空中で唯一の解である）を支持する。
• $ T = 0 $ のとき、$ \phi $ の漸近的挙動が $ \mathcal{O}(1/\omega) $ から $ \mathcal{O}(1/\sqrt{\omega}) $ に変わることを示し、一般相対性理論への標準的還元がこの領域で失敗することを示唆する。
• $ \phi = e^{a\psi} $ の関係により、$ \omega \to \infty $ の極限でもシュバルツシルト解に還元されない解が得られ、JBD理論がこの極限で一般相対性理論に還元されるという一般的な信念に反する。
• $ \omega = -(1+6\varepsilon)/(1-3\varepsilon) $ かつ $ g_{rr} = \text{const} $ のとき、$ g_{00} = \phi^{-2}\left(-\frac{C_1}{r} + C_2\right)^2 $ という解が得られ、流体内部で計量とスカラー場が直接的に結合していることが示される。