[論文レビュー] À propos du groupe fondamental des variétés rationnellement connexes

Antoine Chambert-Loir|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、代数閉体上での正規で有理的チェーン連結な多様体の基本群が、正標数であっても有限であることを証明する。証明は代数幾何の技法を用い、有理的曲線を有限生成代数上にスプローディングし、正規性と構成可能性を用いてエタール被覆を分析することで、特徴量ゼロや滑らかさの仮定を必要とせずに有限性を確立する。

ABSTRACT

(On the fundamental group of rationnally connected varieties.) I show that the fundamental group of a normal variety which is rationally chain connected is finite. The proof holds in non-zero characteristic. Je démontre que le groupe fondamental d'une variété normale rationnellement connexe par cha\^ınes est fini. La démonstration est valable en caractéristique différente de zéro.

研究の動機と目的

• 正規で有理的チェーン連結な多様体の基本群の有限性を確立すること。
• 古典的ホッジ理論的手法が失敗する正標数において、特徴量ゼロでの既知の結果を拡張すること。
• 滑らかさやコンパクト性の仮定を必要とせず、代数的スプローディングと構成可能性の議論に依拠する証明を提供すること。
• 底体が正標数のとき、基本群の位数が特徴量と素であることを示すこと。
• ファノ多様体や有理的多様体に関する結果を、より広いクラスの特異で正規な多様体へ一般化すること。

提案手法

• 底体上の有限生成代数上に、有理的チェーン連結多様体内の有理的曲線をスプローディングすること。
• 支配的準同型の像の構成可能性を用いて、部分多様体の一般点がベーススキーム上の有理的曲線に引き上げられることを保証すること。
• 正規スキーム上のエタール被覆が、余密な開部分集合に制限しても連結のままであるという事実を適用すること。
• 余密な開部分集合から全体の正規スキームへの基本群の写像が全射であるという事実を活用すること。
• 曲線の族におけるファイバーの基本群の像を分析し、それが全基本群において有限指数をもつことを示すこと。
• 有限指数部分群の合成に関する安定性を用いて、基本群が有限であると結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、正規で有理的チェーン連結な多様体の基本群は有限か？
• RQ2 滑らかさやコンパクト性の仮定を外して、基本群の有限性を確立できるか？
• RQ3 特にホッジ理論的手法が失敗する正標数の底体において、基本群は有限のままであるか？
• RQ4 複素数体上の有理的チェーン連結多様体のトポロジカル基本群が、代数的手法によって有限であることを示せるか？
• RQ5 有理的曲線の鎖における多様体とその部分多様体の基本群の関係は何か？

主な発見

• 代数閉体上での正規で有理的チェーン連結な多様体の基本群は有限である。
• 正標数 p において、基本群の位数は p と素である。
• 滑らかさやコンパクト性の仮定を必要とせず、従来の仮定に依存する結果を拡張する。
• ファノ多様体は既に有理的チェーン連結であると知られているため、この結果によりその基本群が有限であることが確認される。
• ホッジ理論を避けて任意の特徴量で成立するため、正標数におけるシオダ型の例で見られる制限を克服する。
• 多様体が特異であっても、正規であれば、有理的チェーン連結な多様体の基本群は有限である。