[論文レビュー] Propositional dynamic logic with Belnapian truth values

Igor Sedlár|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、不完全または矛盾する情報状態におけるプログラムの推論をモデル化するためにベルナプの四値論理を統合した、命題的動的論理（PDL）の多値拡張、BPDLを導入する。標準的なモデルとフィルトレーション技法を四値設定に適応させることで、著者らはBPDLの弱い完全性と決定可能性を確立し、部分的または矛盾する情報を持つ知識表現およびデータベース型システムにおける正規プログラムの推論のための形式的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We introduce BPDL, a combination of propositional dynamic logic PDL with the basic four-valued modal logic BK studied by Odintsov and Wansing (`Modal logics with Belnapian truth values', J. Appl. Non-Class. Log. 20, 279--301 (2010)). We modify the standard arguments based on canonical models and filtration to suit the four-valued context and prove weak completeness and decidability of BPDL.

研究の動機と目的

• 不完全または矛盾する情報が存在する状況下での正規プログラムの推論を形式化すること。データベースやAIの応用にインspiredされる。
• 命題的動的論理（PDL）をベルナプ＝ダンの四値論理で拡張し、真理値として「真」「偽」「両方」「どちらでもない」を扱えるようにすること。
• 非古典的四値論理の文脈において、得られた論理、BPDLのための健全かつ弱い完全な公理系を構築すること。
• 標準的な証明論的技法—標準的モデルとフィルトレーション—を四値モーダル論理の枠組みに適応すること。
• 情報が本質的に不確実または矛盾するシステムにおけるプログラム変換の推論の基盤を提供すること。

提案手法

• 論理BPDLは、PDLの言語に強力な否定と四値真理値を追加することで定義され、独立した肯定的および否定的満たし関係を持つキリッケ的意味論を用いる。
• モデルは⟨S, R, V⁺, V⁻⟩のタプルとして定義され、Sは空でない状態の集合、Rは二項到達可能性関係、V⁺とV⁻はそれぞれ状態で真および偽である式の集合である。
• 真と偽は独立に評価される：式φがV⁺に属するとき真、V⁻に属するとき偽であり、同時に両方またはどちらでもない状態をとる。
• 論文では、標準的モデル構成法とフィルトレーション法を四値設定に適応させ、すべての一貫した式の集合が論理の規則について閉じた最大一貫集合に拡張できることを証明している。
• フィルトレーションは、無限モデルから有限モデルを構成するために用いられ、状態数を有限かつ取り扱いやすい集合に削減することで、論理の決定可能性を保証する。
• 完全性の証明は、妥当なすべての式が公理系H(BPDL)から導出可能であることを示すことに基づく。H(BPDL)には古典的命題論理、強力な否定の公理、PDLの公理（選択、合成、テスト、反復）、およびモーダルの相互作用原理が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全または矛盾する情報が存在する状況下で、プログラムの推論を可能にする多値PDLを構築できるか？
• RQ2 標準的モデルとフィルトレーションを四値モーダル論理に適応させることで、完全性と決定可能性を証明するにはどうすればよいか？
• RQ3 ベルナプ的真理値を統合したPDL拡張のための正しい公理の集合は何か？また、K公理やモーダルの双対性といった主要な論理的性質を保つには？
• RQ4 得られた論理BPDLは、古典的PDLが持つ望ましい証明論的性質（弱い完全性と決定可能性）を保持するか？
• RQ5 この四値設定におけるモーダルと強力な否定の相互作用原理は、どのように振る舞い、妥当であるか？

主な発見

• BPDLは、キリッケ的意味論に関して弱い完全性を有する。すなわち、すべての妥当な式は公理系H(BPDL)から導出可能である。
• フィルトレーションに基づく証明により、任意のモデルを妥当性を保ったまま有限モデルに還元できるため、BPDLは決定可能である。
• 標準的モデル構成法は四値文脈にうまく適応され、最大一貫集合を用いた完全性の導出が可能になった。
• 公理系H(BPDL)には、古典的命題論理、強力な否定の公理（例：∼∼φ ↔ φ）、選択、合成、テスト、反復のPDL公理、およびモーダルの相互作用原理が含まれる。
• モーダルと強力な否定の間の相互作用原理—例えば、∼[α]φ ↔ ⟨α⟩∼φ および [α]φ ↔ ∼⟨α⟩∼φ—はBPDLにおいて妥当であり、双対性と論理的一致性を保証する。
• BPDLはPDLの主要な構造的特徴、たとえば反復の帰納法公理の妥当性でさえ、四値設定下でも保持する。