[论文解读] Provably efficient machine learning for quantum many-body problems

Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2021

Quantum many-body systems参考文献 173被引用 19

一句话总结

该论文证明了经典机器学习（ML）可以通过从经典阴影——通过少量量子测量获得的量子态的简洁经典表示——中学习，高效预测有限维中具有能隙的量子多体系统的基态性质。关键贡献是提供了严格的理论保证，表明在标准复杂性假设下，基于ML的预测优于非学习型经典算法，且在包括里德伯原子和拓扑相在内的多种量子系统中得到验证。

ABSTRACT

Classical machine learning (ML) provides a potentially powerful approach to solving challenging quantum many-body problems in physics and chemistry. However, the advantages of ML over more traditional methods have not been firmly established. In this work, we prove that classical ML algorithms can efficiently predict ground state properties of gapped Hamiltonians in finite spatial dimensions, after learning from data obtained by measuring other Hamiltonians in the same quantum phase of matter. In contrast, under widely accepted complexity theory assumptions, classical algorithms that do not learn from data cannot achieve the same guarantee. We also prove that classical ML algorithms can efficiently classify a wide range of quantum phases of matter. Our arguments are based on the concept of a classical shadow, a succinct classical description of a many-body quantum state that can be constructed in feasible quantum experiments and be used to predict many properties of the state. Extensive numerical experiments corroborate our theoretical results in a variety of scenarios, including Rydberg atom systems, 2D random Heisenberg models, symmetry-protected topological phases, and topologically ordered phases.

研究动机与目标

• 为经典机器学习在求解量子多体问题中的应用建立严格的理论保证，特别是基态性质预测。
• 证明利用经典阴影的ML算法可在复杂性理论假设下，高效预测整个量子相中能隙哈密顿量的性质，且优于非学习型经典方法。
• 开发一个基于经典阴影数据训练的机器学习框架，用于分类物质的量子相。
• 通过在包括二维海森堡模型和对称保护拓扑相在内的多种量子系统上进行广泛数值实验，验证理论主张。
• 通过将预测建立在量子信息理论和复杂性理论基础上，弥合量子物理中启发式ML应用与可证明高效的算法之间的差距。

提出的方法

• 利用经典阴影——从量子态的少量副本测量中构建的紧凑经典表示——实现对多个可观测量的高效预测，并提供严格的误差界。
• 采用在参数化为x的哈密顿量族的基态经典阴影数据上训练的机器学习模型，使模型能够泛化到训练集中未包含的新x值。
• 应用基态性质的梯度有界性以确保泛化性和效率，假设性质随哈密顿量参数平滑变化。
• 利用局部哈密顿量的有限范围和有界范数结构，推导出扭曲态能量差的误差界，确保在对称操作下的稳定性。
• 通过引理12和引理13的谱间隙和重叠论证，限制扭曲基态与原始基态的偏离，从而实现严格的收敛保证。
• 采用局部哈密顿量项的矩阵单位基展开及在扭曲操作下的相位共轭，推导出算子范数界，进而得到能量差估计，其量级为O(1/ℓ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典机器学习算法能否在整段量子相中高效预测有限空间维数下能隙量子多体系统的基态性质？
• RQ2 在何种条件下，基于ML的预测在计算效率和准确性方面可超越非学习型经典算法？
• RQ3 基于经典阴影训练的经典ML能否以可证明的保证分类物质的量子相？
• RQ4 能隙哈密顿量的几何与谱性质如何影响ML模型的泛化能力和样本复杂度？
• RQ5 经典阴影在实现无需完整态层析的高效、严格且可扩展的量子性质预测中起到什么作用？

主要发现

• 在系统参数平滑变化的前提下，经典ML算法可以多项式时间复杂度，严格证明预测有限空间维数下能隙哈密顿量的基态性质。
• 理论框架表明，在广泛接受的复杂性假设下（如无学习则难以模拟能隙系统），此类ML性能无法被非学习型经典算法所超越。
• 数值实验在包括里德伯原子链、二维随机海森堡模型和拓扑序相在内的多种系统中，证实了理论预测，展示了稳健的泛化能力。
• 基态与其扭曲版本之间的能量差量级为O(1/ℓ)，其中ℓ为扭曲长度，且随着ℓ增大，两态重叠趋近于1，确保了稳定性。
• 该方法仅需每组训练样本少量量子测量，即可实现对局域可观测量和全局性质（如纠缠熵）的高保真度预测。
• 基于经典阴影训练的ML在分类量子相方面实现了高精度，即使在对称保护拓扑相和拓扑序相等复杂相中也具有严格的性能保证。