[論文レビュー] Proximal calculus on Riemannian manifolds, with applications to fixed point theory

Daniel Azagra, Juan Ferrera|ArXiv.org|Mar 26, 2004

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上の滑らでない関数に対する近接劣微分計算を導入し、拡張的および非拡張的写像の新しい不動点定理を可能にする。主な貢献は、曲率と導関数の有界性のもとで、写像の合成および摂動に関する新規な不動点結果を、コンパクト性や収縮性を仮定しない完全な、おそらく非コンパクトな多様体上に有効にすることにある。

ABSTRACT

We introduce a proximal subdifferential and develop a calculus for nonsmooth functions defined on any Riemannian manifold $M$. We give several applications of this theory, concerning: 1) differentiability and geometrical properties of the distance function to a closed subset $C$ of $M$; 2) solvability and implicit function theorems for nonsmooth functions on $M$; 3) conditions on the existence of a circumcenter for three different points of $M$; and especially 4) fixed point theorems for expansive and nonexpansive mappings and certain perturbations of such mappings defined on $M$.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間解析の道具を一般化して、リーマン多様体上の下半連続関数に対する近接劣微分計算を構築すること。
• 多様体上の閉集合への距離関数の変分的原理および微分可能性の性質を確立すること。
• リーマン多様体上の滑らでない関数に対する可解性および陰関数定理を証明すること。
• リーマン多様体上での3点の外接円中心の存在を保証する条件を導出すること。
• 完全なリーマン多様体上での非拡張的および拡張的写像、およびそれらの微小摂動に対する新しい不動点定理を確立すること。

提案手法

• リーマン計量と平行移動を用いた2次下界条件を用いて、リーマン多様体上での近接劣微分を定義する。
• 距離関数の2乗とのインフィコンボリューションを用いて、多様体上でのボルワイン＝プリース型変分的原理を導出する。
• 可解性および陰関数定理を導くために、減少原理を確立する。
• 距離関数の微分可能性および幾何的性質を解析するために、理論を応用する。
• 近接計算を用いて、写像の導関数およびその摂動の有界性に基づき、不動点定理を導出する。
• 平行移動および曲率の有界性（注入半径を介して）を用いて、測地線の挙動を制御し、不動点の議論における局所的単射性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間から一般のリーマン多様体へ、近接劣微分計算を意味的に拡張することは可能か？
• RQ2 リーマン多様体上の閉集合への距離関数が、どのような条件下で微分可能または近接的に劣微分可能か？
• RQ3 近接計算を用いて、リーマン多様体上の滑らでない関数に対する可解性および陰関数定理を一般化できるか？
• RQ4 リーマン多様体上での3点の外接円中心の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 収縮性を仮定せず、非コンパクトで完全なリーマン多様体上での拡張的または非拡張的写像の不動点定理を確立できるか？

主な発見

• 正の注入半径を有する完全なリーマン多様体上では、下半連続関数に対してボルワイン＝プリース型変分的原理が成り立つ。
• 適切な幾何的条件下で、リーマン多様体の閉集合 $ C $ への距離関数は近接的に劣微分可能である。
• すべての単位ベクトル $ h $ に対して $ \big\bracevert \langle h, dG(x_0)(h) \rangle \big\bracevert \leq K < 1 $ を満たす $ C^1 $ 写像 $ G $ に対し、ある $ \delta > 0 $ が存在し、$ H $ が $ \delta $-リプシッツでかつ $ d(x_0, x_0 + H(x_0)) < \delta $ ならば、$ G + H $ は $ x_0 $ の近傍に不動点をもつ。
• $ F = H \circ G $ に対して、$ G $ が $ C $-リプシッツで、かつ $ \big\langle L_{xH(G(x))}h, L_{G(x)H(G(x))}dG(x)(h) \big\rangle \leq K < 1 $ であり、$ H $ が導関数ノルムで恒等写像に十分近いならば、$ d(x_0, H(G(x_0))) < R(1 - K - \varepsilon) $ かつ $ \varepsilon < 1 - K $ ならば、$ B(x_0, R) $ 内に $ F $ の不動点が存在する。
• これらの不動点定理は、$ M = \mathbb{R}^n $ またはヒルベルト空間の場合でも新規であり、古典的結果をコンパクト性や収縮性の仮定を越えて拡張する。
• 有限次元多様体では、不動点定理における特異集合 $ \operatorname{sing}(z) $ をカットリーマン $ \operatorname{cut}(z) $ に置き換えられる。