[論文レビュー] Pseudo-Riemannian metrics with parallel spinor fields and vanishing Ricci tensor

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Apr 11, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、さまざまな次元における平行スピン場とリッチ曲率が消える擬リーマン計量を分類し、特に (10,1)次元のローレンツ計量に注目している。平行な零スピン場をもつような計量は、局所的には10変数の任意関数に依存し、一般にはリッチ平坦でないが、リッチ平坦性を課すと一般性は6変数の6関数に減少する——非零スピン場の場合と一致する。この構成は、ある共形的反自己双対条件を満たす、ねじれのない Spin(7)-構造の1パラメータ族に依存している。

ABSTRACT

I discuss geometry and normal forms for pseudo-Riemannian metrics with parallel spinor fields in some interesting dimensions. I also discuss the interaction of these conditions for parallel spinor fields with the condition that the Ricci tensor vanish (which, for pseudo-Riemannian manifolds, is not an automatic consequence of the existence of a nontrivial parallel spinor field).

研究の動機と目的

• 平行スピン場をもつ擬リーマン計量の局所的自由度を、特に次元が6より大きい場合に特定すること。
• 不定符号幾何における平行スピン場の存在とリッチ平坦性の間の関係を調査すること。
• リーマン計量に限らない特殊ホロノミー計量の分類を拡張すること、特にローレンツ型および分割符号計量について。
• 平行スピン場のさまざまな代数的型（零スピン場や純粋スピン場を含む）に対応する正規形と構造方程式を提供すること。
• 擬リーマン幾何における平行スピン場の存在が、リッチテンソルの消滅を含意するかどうかを明確にすること、特に零スピン場の場合に注目する。

提案手法

• 3次元から10次元までの平行スピン場をもつ計量の正規形を導出するために、動径法と構造方程式を用いる。
• スピン場の軌道とクリフォード代数の理論を適用し、低次元におけるスピン場の可能な代数的型を分類する。
• 8次元多様体 K 上のねじれのない Spin(7)-構造の1パラメータ族を用いて解を構成し、標準的4形式 Φ の変動が共形的反自己双対性を満たすようにする。
• 対称行列 u と関数 g を用いて、R³×K 上のローレンツ計量を構成し、ds² = -4dx₁dx₃ + dx₂² - 4g dx₃² + η·η と表す。ここで η はスピン場のデータを符号化する。
• 平行な零スピン場の存在を保証するために、dη = -(θ - 2u dx₃) ∧ η という条件を課す。
• アームブロス＝シンガーのホロノミー定理を用いて、一般な選択肢が次元30の完全なホロノミー群を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 10次元ローレンツ計量において、平行な零スピン場が存在することは、リッチテンソルが消えることを示唆するか？
• RQ2 平行な零スピン場とリッチ曲率が消える (10,1) 計量の局所的自由度（任意関数の数）は何か？
• RQ3 不定符号において、平行な零スピン場をもつ計量と非零平行スピン場をもつ計量のホロノミー群の構造にはどのような相違があるか？
• RQ4 8次元多様体上の1パラメータ族の Spin(7)-構造を用いて、平行な零スピン場をもつローレンツ計量を構成できるか？
• RQ5 得られる計量が最大ホロノミーをもち、かつリッチ平坦でないようにするため、Spin(7)-構造の変動が満たすべき条件は何か？

主な発見

• 10次元ローレンツ計量に平行な零スピン場が存在する場合、微分同相変換の下で、局所的には10変数の任意関数に依存する。
• このような計量は一般にはリッチ平坦ではなく、非零平行スピン場の場合とは対照的である。
• リッチ平坦性を課すと、局所的自由度は6変数の6関数に減少し、非零スピン場の場合と一致する。
• 1パラメータ族の Spin(7)-構造が、共形的反自己双対性、すなわち ∂Φ/∂x₃ = λΦ + Υ かつ Υ が反自己双対であることを満たす必要がある。
• 標準的5形式 dx₃ ∧ Φ は閉形式であり、平行である。同様に dx₃、dx₂ ∧ dx₃ およびそれらのホッジ双対も平行な形式である。
• 1パラメータ族および関数 g の一般な選択肢に対して、ホロノミー群は零スピン場の安定化部分群としての完全な次元30の群である。