[論文レビュー] Public-Key Pseudoentanglement and the Hardness of Learning Ground State Entanglement Structure

Adam Bouland, Bill Fefferman+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、局所ハミルトニアンの基底状態のもつれ構造を決定することは、体積則と近似面積則のもつれを区別する場合ですら計算的に困難であることを示している。学習 with Errors (LWE) 仮定の下で、計算的に区別不能な公開鍵量子回路を構築し、それらが著しく異なるもつれエントロピーを持つ状態を生成することにより、著者らは、このような基底状態のもつれ構造は、効率的に学習できないことを証明した。主な結果は、2次元幾何的局所ハミルトニアンの族であり、その基底状態はカットごとに多項対数的または Ω(n) のもつれを示すが、LWEの下ではハミルトニアンの古典的記述は区別不能である。

ABSTRACT

Given a local Hamiltonian, how difficult is it to determine the entanglement structure of its ground state? We show that this problem is computationally intractable even if one is only trying to decide if the ground state is volume-law vs near area-law entangled. We prove this by constructing strong forms of pseudoentanglement in a public-key setting, where the circuits used to prepare the states are public knowledge. In particular, we construct two families of quantum circuits which produce volume-law vs near area-law entangled states, but nonetheless the classical descriptions of the circuits are indistinguishable under the Learning with Errors (LWE) assumption. Indistinguishability of the circuits then allows us to translate our construction to Hamiltonians. Our work opens new directions in Hamiltonian complexity, for example whether it is difficult to learn certain phases of matter.

研究の動機と目的

• 局所ハミルトニアンの基底状態のもつれの定性的な特徴（特に体積則対近似面積則）を学ぶことの計算複雑性を調査すること。
• 唯一の目的が2つの質的に異なるもつれ領域を区別することである場合ですら、この学習問題が困難であることを確立すること。
• 回路の記述が公開されているにもかかわらず、もつれ構造が著しく異なるが計算的に区別不能な量子回路およびハミルトニアンの明示的族を構築すること。
• このようなもつれ構造の学習の困難さが暗号的仮定（LWE）に起因することを示し、もつれ構造の学習が計算複雑性によって根本的に制限されることを示すこと。

提案手法

• 学習 with Errors (LWE) 仮定の下で計算的に区別不能な2つの量子回路族を構築し、それらが著しく異なるもつれエントロピーを持つ状態を生成するようにする：一方は多項対数的もつれ、他方は Ω(n) のもつれを示す。
• Kitaevクロック構成を用いたパディング付きの回路からハミルトニアンへの変換により、これらの回路を n×poly(n) グリッド上の2次元幾何的局所ハミルトニアンにマッピングする。
• フォン・ノイマンエントロピーの連続性とスペクトルギャップの境界を活用し、ハミルトニアンの基底状態のもつれが回路出力状態のもつれと密接に一致することを保証する。
• 基底状態のもつれエントロピーが、小さな加法的誤差（polylog n）と乗法的係数（1−1/n）の範囲で保持されることを証明し、もつれギャップが維持されることを保証する。
• 回路族の区別不能性を用いて、ハミルトニアンの古典的記述がLWEの下で計算的に区別不能であることを示す。
• LWEに基づくロスイ関数構成を用いて、情報理論的もつれが小さいにもかかわらず、任意の効率的観測者には高もつれに見える擬態エントロピー状態を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ハミルトニアンの基底状態のもつれが体積則か近似面積則かを決定することは、2つの異なるもつれ領域を区別するという唯一の目的であっても、計算的に困難であるか？
• RQ2 公開された記述を持つ量子回路を構築し、それらが著しく異なるもつれ構造を持つ状態を生成するが、計算的に区別不能であるようにすることは可能か？
• RQ3 ハミルトニアンが古典的に既知である場合に、基底状態のもつれ構造を効率的観測者からどれほど隠すことができるか？
• RQ4 このような擬態もつれを1次元および2次元の局所ハミルトニアンに拡張することは可能か？ また、もつれギャップと計算的区別不能性を保ったままか？
• RQ5 標準的な暗号的仮定（LWE）の下でも、基底状態のもつれ構造の学習の困難さは継続するか？

主な発見

• この論文は、LWE仮定の下で計算的に区別不能な2つの量子回路族を構築し、それらがもつれエントロピーに超多項式ギャップを示す状態を生成する：一方の族は多項対数的もつれ、他方は Ω(n) のもつれを示す。
• 得られる2次元幾何的局所ハミルトニアンの基底状態は、回路出力状態のもつれ構造を引き継ぎ、もつれエントロピーが乗法的係数 (1−1/n) と加法的誤差 polylog n の範囲で保持される。
• n×poly(n) の2次元グリッドにおいて、境界から ω(log n) 以上の距離にある任意の水平カットに対して、H_low^n から抽出されたハミルトニアンの基底状態のもつれエントロピーは O(polylog n) である一方、H_high^n からのものは Ω(n) である。
• H_low^n と H_high^n からのハミルトニアンの古典的記述は、LWE仮定の下で計算的に区別不能であり、したがって任意の効率的アルゴリズムがこれら2つの族を区別できないことを示している。
• 標準的な LWE 仮定の下で、もつれギャップは O(n^δ) 対 Ω(n) であり、任意の δ>0 に対して成り立つ。これは、ギャップが多項式的ではなく超多項式的であっても、困難さが継続することを示している。
• 本研究は、暗号的困難さ（LWE）と、もつれ構造といった量子多体系の基本的性質の学習の計算的非効率性との間の明確な形式的関係を確立した。