[論文レビュー] Pumping lemmas for linear and nonlinear context-free languages

Géza Horváth, Benedek Nagy|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、固定レート線形および非線形文脈自由言語のための新しいポンピング補題を導入し、特定の言語が偶数線形やメタ線形などの特定の部分クラスに属さないことを証明可能にする。補題は複数の位置での同時ポンピングを可能にし、非メタ線形文脈自由言語を区別できる。主な結果として、複数のk値についてポンピング条件を満たす言語は正則である可能性があり、非メタ線形言語は新たな反復条件によって同定可能であることが示されている。

ABSTRACT

Pumping lemmas are created to prove that given languages are not belong to certain language classes. There are several known pumping lemmas for the whole class and some special classes of the context-free languages. In this paper we prove new, interesting pumping lemmas for special linear and context-free language classes. Some of them can be used to pump regular languages in two place simultaneously. Other lemma can be used to pump context-free languages in arbitrary many places.

研究の動機と目的

• 固定レート線形およびメタ線形言語クラスに特化した新しいポンピング補題の開発。
• 特定の文脈自由言語の部分クラス（例：偶数線形やメタ線形）に属さないことを証明可能にする。
• 反復条件を用いて非メタ線形文脈自由言語を区別する方法の提供。
• 複数のk値についてポンピング補題を満たす言語が正則でなければならないかどうかの調査。
• 標準的な正則および文脈自由クラスを超えたポンピング補題の適用範囲の拡張。

提案手法

• 左辺と右辺の文字列長の比が有理数kに固定されたkレート線形文法モデルを提案し、偶数線形および正則文法を一般化する。
• kレート線形言語のためのポンピング補題を導入し、固定比kを活用して2つ以上の位置での同時ポンピングを可能にする。
• k線形文法を、S → S₁S₂…Sₖ という1つの規則を追加した線形文法として定義し、Sᵢ は他の規則に現れず、S は他の規則に現れないものとする。
• 非k線形文脈自由言語のためのポンピング補題を構築し、メタ線形族に属さない言語を同定する。
• 特定の言語、例えば L = {0ʲ1ᵐ0ʳ1ⁱ0ˡ1ⁱ0ʳ1ᵐ0ʲ | r prime} を新しい補題を用いて分析し、これが偶数線形や固定レート線形でもないことを示す。
• 補題を用いて、Bar-Hillelの条件を満たすが新しい反復条件に反する言語が文脈自由でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定レート線形言語に対して、複数の位置での同時ポンピングを許可するポンピング補題を構築可能か？
• RQ2 複数の異なる有理数k値についてkレート線形であると分類されるためには、言語が満たすべき条件は何か？
• RQ3 新しいポンピング補題は、非メタ線形文脈自由言語とメタ線形言語を区別できるか？
• RQ4 非k線形文脈自由言語のための新しい反復条件を用いて、言語が文脈自由でないことを証明可能か？
• RQ5 2つの異なるk値についてポンピング補題を満たすという条件が、言語が正則であることを示すにはどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 本稿は、k=1 を用いたkレートポンピング補題を用いて、言語 L = {0ʲ1ᵐ0ʳ1ⁱ0ˡ1ⁱ0ʳ1ᵐ0ʲ | r prime} が偶数線形でもなく、したがって正則でもないことを証明している。
• 言語 L = {aˡbˡaᵐbᵐaⁿbⁿ | l,m,n ≥ 0} はk=3のポンピング補題を満たしており、したがってメタ線形であることが示され、メタ線形族への属するという確認が得られた。
• 言語 L₂ = {aˡbˡaᵐbᵐaⁿbⁿ | l,m,n ≥ 1; l∈H or m∈H or n∈H} ∪ {aⁱbⁱaʲbʲ | i,j ≥ 1} （Hは{2ᵏ}の無限部分集合）はk=3のポンピング条件を満たさず、したがって文脈自由でない。
• kレート線形言語のポンピング補題はすべての正則言語に適用可能であり、任意の非負有理数kについて正則言語はkレート線形である。
• 2つの異なるk値についてポンピング補題を満たす言語が正則である可能性があるという証拠を提供し、複数のk値について補題を満たすのは正則言語に限るという予想を提示している。
• 非k線形文脈自由言語のための新しい反復条件は、言語が文脈自由でないことを証明するのにも、またそれがメタ線形であることを確認するのに対しても使用可能である。