[論文レビュー] Pure motives, mixed motives and extensions of motives associated to singular surfaces

Jörg Wildeshaus|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異な曲面、特に固有曲面の交差モチーフとその特異性の解消後の例外的除集合のモチーフに注目し、ヴォエバドスキーの有効幾何的モチーフの圏における非自明な1次拡張を構成する。例外的除集合のすべての幾何的既約成分が genus zero であるとき、境界モチーフの1次部分と交差モチーフの2次部分の間に標準的な拡張が存在し、カスパーによる構成のモチービック解釈を提供する。

ABSTRACT

We first recall the construction of the Chow motive modelling intersection cohomology of a proper surface and study its fundamental properties. Using Voevodsky's category of effective geometrical motives, we then study the motive of the exceptional divisor in a non-singular blow-up. If all geometric irreducible components of the divisor are of genus zero, then Voevodsky's formalism allows us to construct certain one-extensions of Chow motives, as canonical sub-quotients of the motive with compact support of the smooth part of the surface. Specializing to Hilbert--Blumenthal surfaces, we recover a motivic interpretation of a recent construction of A. Caspar.

研究の動機と目的

• 特異な固有曲面を用いてヴォエバドスキーの有効幾何的モチーフの圏における非自明なモチーフ拡張を構成すること。
• A. カスパーによるクーマー・チェルン・アイゼンスタイン拡張の最近の構成のモチービック解釈を提供すること。
• 特異曲面の文脈において、交差モチーフ、境界モチーフ、およびクンネットフィルトレーションの相互作用を研究すること。
• チャウモチーフ圏における交差モチーフのファンクター性および標準的分解の性質を確立すること。

提案手法

• ヴォエバドスキーの有効幾何的モチーブの三角的圏を用い、特異曲面の解消における例外的除集合のモチーブを研究する。
• ムーレのクンネット射影子の構成を適用し、特異曲面の交差モチーブに標準的なクンネットフィルトレーションを定義する。
• 例外的除集合の第二コホモロジーのモチーブの和と補集合を用いて、解消のモチーブの直和成分として交差モチーブを構成する。
• 境界除集合のコホモロジー群のモチービック類似を定義し、特に1次部分をコンパクト台付きモチーブにおける標準的部分商として特定する。
• 例外的除集合のすべての幾何的既約成分が genus zero である条件の下で、境界モチーブの1次部分と交差モチーブの2次部分の間の1次拡張を、モチーブの導来圏内で確立する。
• 交差モチーブのためのハード・レフシッツ定理を用い、その変種の定式化を特異設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして特異曲面からヴォエバドスキーの有効幾何的モチーブの圏における非自明なモチーブ拡張を構成できるか？
• RQ2 特異曲面の交差モチーブの正確なモチービック構造は、その解消とどのように関係するか？
• RQ3 例外的除集合にどのような幾何的条件が満たされると、境界モチーブと交差モチーブの間の標準的1次拡張が生じるか？
• RQ4 特異曲面のピカール群は、モチーブ圏内の拡張とどのように関係するか？
• RQ5 カスパーによるクーマー・チェルン・アイゼンスタイン拡張の構成は、この枠組みを用いてモチービック解釈を与えられるか？

主な発見

• 固有曲面の交差モチーブは、その解消のモチーブの標準的直和成分として自然に埋め込まれ、補集合は例外的除集合の既約成分の第二コホモロジーのモチーブの和と同型である。
• 交差モチーブにはクンネットフィルトレーションが存在し、標準的分解と整合的であり、ムーレの射影子が交差モチーブの文脈に拡張される。
• アーリアム線束に関して、特異曲面の交差モチーブについてもハード・レフシッツ定理が成り立ち、滑らかな場合の一般化が達成される。
• 例外的除集合のすべての幾何的既約成分が genus zero であるとき、境界モチーブの1次部分と交差モチーブの2次部分の間に標準的な1次拡張が構成される。
• 特異曲面の有理化されたピカール群からモチーブのExt群への準同型は、境界除集合のピカール群を通じて自然に因数分解され、モチービックな接続が確立される。
• ヒルベルト＝ブルメンタール曲面の場合は、この構成はカスパーの最近のクーマー・チェルン・アイゼンスタイン拡張に関する結果を回復し、そのモチービック解釈を提供する。