[논문 리뷰] Push-pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual

Baptiste Calmès, Kirill Zainoulline외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 형식적 아핀 딜로즈 알제브라와 그 쌍대체 위에 푸시-풀 연산자를 도입하여, 플라그 다양체의 호모로지에 대한 등변 방향 코homology에 대한 대수적 모델을 수립한다. 이는 쌍대 대수 위의 쌍대성 쌍대가 비퇴화임을 증명하고, 쌍대 기저를 규명함으로써 형식적 군 법칙을 통한 K-이론과 코homology의 고전적 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the present paper we introduce and study the push pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual. As an application we provide a non-degenerate pairing on the dual of the formal affine Demazure algebra which serves as an algebraic counterpart of the natural pairing on the T-equivariant oriented cohomology of G/B induced by multiplication and push-forward to a point. This paper can be viewed as the next step towards the `algebraization program' for equivariant oriented cohomology theories started in arXiv:0905.1341 and continued in arXiv:1208.4114 and arXiv:1209.1676; the general idea being to match cohomology rings of algebraic varieties and elements of classical interest in them (such as classes of Schubert varieties) with algebraic and combinatorial objects that can be introduced in the spirit of [Demazure, Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion, Invent. Math. 21:287-301, 1973] and [Kostant, Kumar, The nil Hecke ring and cohomology of G/P for a Kac-Moody group G, Advances in Math. 62:187-237, 1986].

연구 동기 및 목표

• 형식적 군 법칙을 사용하여 플라그 다양체의 등변 방향 코homology에 대한 대수적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 일반적인 형식적 군 법칙으로 비틀림 힐베르트 대수와 0-힐베르트 대수의 구성 방식을 일반화하기 위해.
• 편평한 부분군의 맥락에서 푸시-포워드와 풀-백의 복합으로서 대수적으로 푸시-풀 연산자를 정의하고 연구하기 위해.
• 형식적 아핀 딜로즈 대수의 쌍대체 위에 비퇴화 쌍대를 수립하고, 쌍대 기저를 규명하기 위해.
• 등변 코hom로지에서 고정점의 제약과 푸시-포워드와 같은 기하학적 구성 요소에 대한 대수적 모델을 제공하기 위해.

제안 방법

• 형식적 군 법칙 $F$와 루트 체계를 사용하여 형식적 아핀 딜로즈 대수 $\mathbf{D}_F$ 와 그 쌍대체 $\mathbf{D}_F^\star$ 를 정의하기 위해.
• 편평한 부분군 $P \subseteq Q$ 에 대한 몫 사상 $G/P \to G/Q$ 沿해 푸시-포워드와 풀-백의 복합으로 푸시-풀 연산자를 도입하기 위해.
• 국소화 대수 위에서 푸시-풀 연산자의 작용을 모델링하기 위해 $Q_W$ 내의 원소 $Y_{\Xi/\Xi'}$ 를 구성하기 위해.
• S-쌍대화를 통해 $\mathbf{D}_F$ 에서의 결과를 $\mathbf{D}_F^\star$ 로 이행하여 쌍대성과 쌍대성의 연구를 가능하게 하기 위해.
• 국소화, $x_{\Pi/\Xi}$ 의 곱, 딜로즈 연산자 포함의 가환 다이어그램을 수립하여 호환성 검증하기 위해.
• 정의된 쌍대 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ 가 $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ 를 통해 비퇴화임을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플라그 다양체 위의 푸시-풀 연산자는 어떻게 형식적 아핀 딜로즈 대수를 통해 대수적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ2 형식적 아핀 딜로즈 대수의 쌍대체는 어떤 구조를 가지며, 등변 코hom로지와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 쌍대 대수 위의 쌍대가 비퇴화가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 형식적 딜로즈 대수의 맥락에서 쌍대 기저를 명시적으로 규명할 수 있는가?
• RQ5 대수적 구성은 등변 코hom로지에서 기하학적 푸시-포워드와 제약 사상과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 정의된 쌍대 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ 가 $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ 를 통해 비퇴화이다.
• 가운데 $\{A_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ 와 $\{Y_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ 는 $\mathbf{D}_F^\star$ 에서 쌍대 기저를 이룬다.
• 가운데 $\{B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ 와 $\{X_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ 도 $\mathbf{D}_F^\star$ 에서 쌍대 기저를 이룬다.
• 편평한 부분군의 경우, 쌍대 $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \times \mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \to S$ 가 $\mathcal{A}_{\Pi/\Xi}(\sigma\sigma')$ 를 통해 비퇴화이다.
• 가운데 $\{\mathcal{A}_\Xi(B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e))\}_{w\in W^\Xi}$ 와 $\{(X_{I_v}^\Xi)^\star\}_{v\in W^\Xi}$ 는 $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star$ 에서 쌍대 기저를 이룬다.
• 푸시-풀 연산자 구조는 국소화와 호환되며, $W_\Xi$-불변 부분환의 구조를 유지하며, 대수적 맥락에서 분모가 상쇄된다.