[論文レビュー] q-Stability conditions on Calabi-Yau-X categories

Akishi Ikeda, Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau-\mathbb{X} 圏 \mathcal{D}_{\mathbb{X}} 上に $q$-安定性条件 $(\sigma, s)$ を導入する。ここで $\sigma$ はBridgeland安定性条件であり、$s \in \mathbb{C}$ は自己同値 $\mathbb{X}$ を通じた $q$-変形を制御する。主な結果として、固定された $s$ に対して、空間 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ は $\mathbb{Z}[q^{\pm1}]$ 上の $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ のランク $n$ に等しい複素多様体である。また $s = N \in \mathbb{Z}$ のとき、$q$-安定性条件は、$\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[χ-N]$ の軌道圏における通常の安定性条件へ埋め込まれる。誘導法により、$\mathbb{X}$-階層から $q$-安定性条件への安定性条件の持ち上げに関する必要十分条件が得られる。

ABSTRACT

We introduce $q$-stability conditions $(σ,s)$ on Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ categories $\mathcal{D}_\mathbb{X}$, where $σ$ is a stability condition on $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ and $s$ a complex number. We prove the corresponding deformation theorem, that $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_\mathbb{X}$ is a complex manifold of dimension $n$ for fixed $s$, where $n$ is the rank of the Grotendieck group of $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ over $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$. When $s=N$ is an integer, we show that the $q$-stability conditions can be identified with the stability conditions on $\mathcal{D}_N$, provided the orbit category $\mathcal{D}_N=\mathcal{D}_\mathbb{X}/[\mathbb{X}-N]$ is well defined. To attack the questions on existence and deformation along $s$ direction, we introduce the inducing method. Sufficient and necessary conditions are given, for a stability condition on an $\mathbb{X}$-baric heart (that is, an usual triangulated category) of $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ to induce $q$-stability conditions on $\mathcal{D}_\mathbb{X}$. As a consequence, we show that the space $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_\mathbb{X}$ of (induced) open $q$-stability conditions is a complex manifold of dimension $n+1$. Our motivating examples for $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ are coming from Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ completions of dg algebras. In the case of smooth projective varieties, the $\mathbb{C}^*$-equivariant coherent sheaves on canonical bundles provide the Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ categories. Another application is that we show the prefect derived categories can be realized as cluster-$\mathbb{X}$ categories for acyclic quivers.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau-\mathbb{X} 圏 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上に、$q$-変形を介してBridgeland安定性条件を一般化する $q$-安定性条件 $(\sigma, s)$ を定義し、その性質を調べること。
• 固定された $s \in \mathbb{C}$ に対して、$\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ が次元 $n$ の複素多様体であることを示す変形定理を確立すること。
• $s = N \in \mathbb{Z}$ のとき、$q$-安定性と通常の安定性条件との関係を、軌道圏 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$ を通じて明確にすること。
• $\mathbb{X}$-階層から $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上の $q$-安定性条件への安定性条件の持ち上げに関する必要十分条件を提供する誘導法を構築すること。
• $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ と表される誘導された開 $q$-安定性条件の空間が次元 $n+1$ の複素多様体であることを示すこと。

提案手法

• 自己同値 $\mathbb{X}$ における整合性条件を満たす、Bridgeland安定性条件 $\sigma$ と複素パラメータ $s$ のペアとして $q$-安定性条件 $(\sigma, s)$ を定義する。
• 中心的特徴 $Z$ を $R = \mathbb{Z}[q^{\pm1}]$ 上の $R$-線形関数とし、$\mathbb{C}_s$ 上での $q$-作用を $q(z) = e^{i\pi s}z$ と定める。また、スライシング $\mathcal{P}$ に対して $\mathcal{P}(\phi + \operatorname{Re}(s)) = \mathcal{P}(\phi)[\mathbb{X}]$ を満たすようにする。
• 変形定理を証明する。$\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ が $\operatorname{Hom}_R(K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}}), \mathbb{C}_s)$ に局所的に埋め込まれることを示し、したがって次元 $n$ の複素多様体であることを示す。
• 誘導法を導入する：$\mathbb{X}$-階層 $\mathcal{H}$ 上の安定性条件が、グローバル次元関数を介して $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上の $q$-安定性条件に持ち上がるための条件を同定する。
• $\mathbb{X}$-球面的トランスフォーム関手 $\Psi_{S_i}$ を用いて、ヘッケ代数の作用をカテゴリフィケーションし、$q$-変形された根格子を $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ と関連付ける。
• $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ を微分幾何的代数の $\mathbb{X}$-完備化、または正則バンドル上の $\mathbb{C}^*$-等変な連接層を用いて構成し、具体的な幾何的実現を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bridgeland安定性条件は、どのように $q$-変形を介して Calabi-Yau-\mathbb{X} 圏上での $q$-安定性条件に一般化できるか？
• RQ2 $\mathbb{X}$-階層上の安定性条件が、全カテゴリ $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上の $q$-安定性条件に持ち上がるための条件は何か？
• RQ3 $s$ がどのような値をとるとき、空間 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ は複素多様体の構造を保ち、その次元は何か？
• RQ4 $s = N \in \mathbb{Z}$ のとき、$q$-安定性条件と通常の安定性条件との関係は何か？特に、軌道圏 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$ を通じてどう関連づけられるか？
• RQ5 完全な導来圏は、クラスター-$\mathbb{X}$ 圏として実現可能か？また、これと $q$-変形された根格子や球面的トランスフォームとの関係は何か？

主な発見

• 固定された $s \in \mathbb{C}$ に対して、$q$-安定性条件の空間 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ は、$\mathbb{Z}[q^{\pm1}]$ 上の $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ のランク $n$ に等しい次元の複素多様体である。
• $s = N \in \mathbb{Z}$ で、軌道圏 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$ が適切に定義されるとき、$\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ は $\operatorname{Stab}\mathcal{D}_N$ に埋め込まれ、$q$-安定性と通常の安定性条件との関係が明確になる。
• $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ と表される誘導された開 $q$-安定性条件の空間は、$\mathbb{X}$-階層への応用による誘導法から生じ、次元 $n+1$ の複素多様体である。
• $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ は $q$-変形された根格子 $(L_{Q,R}, (\,,\,)_{q})$ に同型であり、オイラー形式 $\chi(E,F)$ は $\chi(E,F) = \chi_0(E,F) + q\chi_0(F,E)$ を満たす。
• $\mathbb{X}$-球面的対象 $S_i$ に付随する球面的トランスフォーム $\Psi_{S_i}$ は、$K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 上に反射 $r_i^q$ を誘導し、ヘッケ代数の作用をカテゴリフィケーションし、$q$-変形された根系との関連を提供する。
• サイクルでないクーヴィの完全な導来圏は、クラスター-$\mathbb{X}$ 圏として実現可能であり、その $\mathbb{X}$-完備化は、正則バンドル上の $\mathbb{C}^*$-等変な層を用いて $q$-変形された根格子を実現する。