[논문 리뷰] QMA-hardness of Consistency of Local Density Matrices with Applications to Quantum Zero-Knowledge

Anne Broadbent, Alex B. Grilo|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Cryptography and Data Security참고 문헌 82인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 Karp 감소에 대한 일관성 국소 밀도 행렬(CLDM) 문제의 오랫동안 제기된 추측을 증명하며, 양자 복잡도 이론에서 기초적인 결과를 확립한다. 국소적으로 시뮬레이션 가능한 증명의 개념을 도입하여, QMA 전체에 대한 첫 번째 양자 커밋-오픈 zero-knowledge 증명 체계를 구축하고, 비상호작용 zero-knowledge 프로토콜을 비밀 매개변수 모델에서 제시함으로써, 양자 zero-knowledge 암호학의 발전을 이룬다.

ABSTRACT

We provide several advances to the understanding of the class of Quantum Merlin-Arthur proof systems (QMA), the quantum analogue of NP. Our central contribution is proving a longstanding conjecture that the Consistency of Local Density Matrices (CLDM) problem is QMA-hard under Karp reductions. The input of CLDM consists of local reduced density matrices on sets of at most k qubits, and the problem asks if there is an n-qubit global quantum state that is consistent with all of the k-qubit local density matrices. The containment of this problem in QMA and the QMA-hardness under Turing reductions were proved by Liu [APPROX-RANDOM 2006]. Liu also conjectured that CLDM is QMA-hard under Karp reductions, which is desirable for applications, and we finally prove this conjecture. We establish this result using the techniques of simulatable codes of Grilo, Slofstra, and Yuen [FOCS 2019], simplifying their proofs and tailoring them to the context of QMA. In order to develop applications of CLDM, we propose a framework that we call locally simulatable proofs for QMA: this provides QMA proofs that can be efficiently verified by probing only k qubits and, furthermore, the reduced density matrix of any k-qubit subsystem of an accepting witness can be computed in polynomial time, independently of the witness. Within this framework, we show advances in quantum zero-knowledge. We show the first commit-and-open computational zero-knowledge proof system for all of QMA, as a quantum analogue of a "sigma" protocol. We then define a Proof of Quantum Knowledge, which guarantees that a prover is effectively in possession of a quantum witness in an interactive proof, and show that our zero-knowledge proof system satisfies this definition. Finally, we show that our proof system can be used to establish that QMA has a quantum non-interactive zero-knowledge proof system in the secret parameter setting.

연구 동기 및 목표

• 일관성 국소 밀도 행렬(CLDM) 문제의 Karp 감소에 대한 QMA-하드성에 대한 오랜 추측을 해결하는 것.
• 수락 가능한 증거의 임의의 k-qubit 부분계의 국소 밀도 행렬이 다항시간 내에 계산 가능한, QMA에 대한 국소적으로 시뮬레이션 가능한 증명의 프레임워크를 개발하는 것.
• 모든 QMA에 대한 첫 번째 양자 커밋-오픈 계산 zero-knowledge 증명 체계를 구축하는 것. 이는 고전적 시그마 프로토콜과 유사하다.
• 제안된 zero-knowledge 프로토콜에 대한 양자 지식의 증명을 정의하고 증명하는 것.
• 비밀 매개변수 모델에서 QMA에 대한 비상호작용 zero-knowledge(QNIZK) 증명 체계를 확립하는 것.

제안 방법

• 시뮬레이션 가능한 코드 기법을 활용하여, Grilo, Slofstra, Yuen(Fine-Grained Complexity, 2019)의 결과를 단순화하고 변형함으로써, CLDM의 Karp 감소에 대한 QMA-하드성을 증명한다.
• 국소적으로 시뮬레이션 가능한 증명의 개념을 도입: 수락 가능한 증거의 임의의 k-큐비트 국소 밀도 행렬이 전체 증거를 알지 못해도 효율적으로 계산 가능한 QMA 증명.
• 시뮬레이션 가능한 양자 증거의 일회용 패딩을 기반으로 한 Ξ-프로토콜을 구축하며, 랜덤 부분집합 검증을 통한 검증을 수행한다.
• 양자 오류정정 코드(QECCs)와 비밀 공유 기법을 사용하여 역사 상태를 시뮬레이션하고, 타당성과 zero-knowledge 성질을 보장한다.
• 신뢰할 수 있는 당사자가 일회용 패딩 키와 랜덤 부분집합을 생성 및 배포함으로써 프로토콜을 비상호작용 환경으로 적응시킨다.
• 트레이스 거리의 가역성과 유니터리 불변성의 성질을 활용하여, 시뮬레이터의 출력이 실제 프로토콜의 시야와 트레이스 거리로 가까운 것을 보여 통계적 zero-knowledge를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Liu(2006)가 제기한 바와 같이, 일관성 국소 밀도 행렬(CLDM) 문제는 Karp 감소에 대해 QMA-하드인가?
• RQ2 모든 QMA에 대해 고전적 시그마 프로토콜(커밋-오픈)의 양자 버전을 구성할 수 있는가?
• RQ3 양자 zero-knowledge 증명 체계에 대해 양자 지식의 증명을 확립할 수 있는가?
• RQ4 QMA는 비밀 매개변수 모델에서 비상호작용 zero-knowledge 증명 체계를 갖는가?
• RQ5 국소적으로 시뮬레이션 가능한 증명을 사용하여 효율적이고, zero-knowledge이며, 타당한 양자 상호작용 증명 체계를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• CLDM 문제의 Karp 감소에 대한 QMA-하드성이 증명되어 오랜 추측이 해결되었다.
• 국소적으로 시뮬레이션 가능한 증명의 새로운 프레임워크가 도입되어, 수락 가능한 증거의 임의의 k-큐비트 국소 밀도 행렬을 효율적으로 계산할 수 있게 되었다.
• 모든 QMA에 대한 첫 번째 양자 커밋-오픈 zero-knowledge 증명 체계가 구축되었으며, 완전성은 1 − negl(|x|), 타당성 오차는 1 − (1−δ)/nk이다.
• 제안된 zero-knowledge 프로토콜은 양자 지식의 증명 정의를 충족하여, 증명자가 유효한 양자 증거를 반드시 보유하고 있음을 보장한다.
• 비밀 매개변수 모델에서 QMA에 대한 비상호작용 zero-knowledge(QNIZK) 프로토콜이 달성되었으며, 통계적 zero-knowledge 성질과 타당성 오차가 1 − (1−δ)/nk 이하로 제한된다.
• 이 프레임워크는 QAM으로 확장되어 QAM 역시 비밀 매개변수 모델에서 QNIZK 프로토콜을 갖는다는 것이 입증되었으며, 유사한 타당성 및 zero-knowledge 보장을 갖는다.