[論文レビュー] Quality Up in Polynomial Homotopy Continuation by Multithreaded Path Tracking

Jan Verschelde, Genady Yoffe|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多倍長二重演算の計算コストを並列処理で相殺することで、解の精度を向上させる多スレッドパストラッカーを提示する。多項式評価とニュートン反復における並列性を活用することで、著しい高速化と精度向上を達成した。特に20次多項式において8コアで最大7.57倍の高速化を実証した。これにより、特異点や悪条件系に特化した高精度解が可能になった。

ABSTRACT

Speedup measures how much faster we can solve the same problem using many cores. If we can afford to keep the execution time fixed, then quality up measures how much better the solution will be computed using many cores. In this paper we describe our multithreaded implementation to track one solution path defined by a polynomial homotopy. Limiting quality to accuracy and confusing accuracy with precision, we strive to offset the cost of multiprecision arithmetic running multithreaded code on many cores.

研究の動機と目的

• 多項式ホモトピー続行における高精度演算の高い計算コストに対処すること。特に高精度解のためのもの。
• 多コアを活用して多倍長二重演算の性能オーバーヘッドを相殺することで、解の品質を向上させること。
• 多項式評価が計算を支配する系、特に高次または悪条件系のパストラッキングを最適化すること。
• 特異点の効率的計算を可能にするための定義除去法を実装し、高精度の微分とマルチスレーディングを必要とすること。
• マルチスレーディングによる最適な高速化と品質向上が得られる次元と次数の閾値を確立すること。

提案手法

• 共有メモリ型マルチコアシステム上でpthreadsを用いて多スレッドパストラッカーを実装し、多項式評価とニュートン反復段階を並列化する。
• 高精度解を得るために多倍長二重演算（QD-2.3.9）を用い、並列性によってそのコストを相殺可能であるとみなす。
• ヤコビ行列に必要なすべての微分を効率的に計算するためのアルゴリズム的微分技術を適用し、微分評価コストを低減する。
• 再帰的モナミアル積の計算（Speelpenningの例）を用いて多項式評価を最適化し、スパース多項式の評価を高速化する。
• 続行パラメータtを特別な変数として扱い、オーバーヘッドを低減し、通常の変数として扱う場合と比較して3倍の性能向上を達成する。
• 線形補間を用いて品質向上係数（pコアでの正しく得られた小数桁数と1コアでの比）を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式ホモトピー続行において、複数コアを用いて高精度解を計算する場合、どの程度の品質向上係数が達成可能か？
• RQ2 多スレッド処理が、多倍長二重演算を用いたパストラッキングにおいて最適な高速化を示す問題の次元と次数は何か？
• RQ3 高次多項式において、多スレッドによる多項式評価の性能は、従来のシングルスレッド評価と比べてどの程度優れているか？
• RQ4 多スレッド処理は、パストラッキングにおけるニュートン法の高精度算術の計算負荷を効果的に軽減できるか？
• RQ5 多スレッド環境下で、多項式および微分評価の最適化が、全体のパストラッキング性能にどの程度寄与するか？

主な発見

• 40次元系に20次多項式を適用した場合、8コアで7.567倍の高速化を達成し、強力な拡張性を示した。
• 20次元系に10次多項式を適用した場合、8スレッドで7.327倍の高速化を達成し、高次多項式が並列処理によりより大きな恩恵を受けることを示した。
• 20×20系の5次多項式に対して、新しい多項式評価アルゴリズムは実行時間を8.59倍短縮したが、tの取り扱いのオーバーヘッドを考慮すると純粋な高速化は2.85倍であった。
• 40×40系に20次多項式を適用した場合、新しい評価法は旧手法に比べ15.56倍の高速化を達成し、tの取り扱いコストを補正した純粋な高速化は5.19倍であった。
• 品質向上係数はコア数に線形的に依存すると推定され、最良条件下ではpコアでp倍の品質向上が可能であると示唆された。
• 高速化の良好な閾値となる次元は、多項式次数が高くなるにつれて増加する。これは、低次系ではガウスの消去法のコストが支配的になるためである。