[論文レビュー] Quantifying knowledge with a new calculus for belief functions - a generalization of probability theory

Timber Kerkvliet, Ronald Meester|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、コルモゴロフの加法性をより柔軟で認識論的に根拠づけられた枠組みに置き換えることで、確率論を一般化する信念関数の新しい微積分を導入する。デムプスターの結合則を拒否し、代わりに緩められた一貫性制約に基づくベッティング解釈を提案することで、法医学的およびギャンブル的文脈における無知や非加法的不確実性のより良いモデル化を可能にする。

ABSTRACT

We first show that there are practical situations in for instance forensic and gambling settings, in which applying classical probability theory, that is, based on the axioms of Kolmogorov, is problematic. We then introduce and discuss Shafer belief functions. Technically, Shafer belief functions generalize probability distributions. Philosophically, they pertain to individual or shared knowledge of facts, rather than to facts themselves, and therefore can be interpreted as generalizing epistemic probability, that is, probability theory interpreted epistemologically. Belief functions are more flexible and better suited to deal with certain types of uncertainty than classical probability distributions. We develop a new calculus for belief functions which does not use the much criticized Dempster's rule of combination, by generalizing the classical notions of conditioning and independence in a natural and uncontroversial way. Using this calculus, we explain our rejection of Dempster's rule in detail. We apply the new theory to a number of examples, including a gambling example and an example in a forensic setting. We prove a law of large numbers for belief functions and offer a betting interpretation similar to the Dutch Book Theorem for probability distributions.

研究の動機と目的

• 古典的確率論が認識論的不確実性、特に法的および法医学的状況において表現できない限界を克服すること。
• 欠落した信念と否認の違いを、古典的確率論では表現できない数学的に厳密な方法で区別すること。
• 特にグループレベルの情報しか入手できない状況における無知の形式的枠組みを提供すること—一様事前分布を仮定しないで。
• デムプスターの結合則という議論の多いルールを避ける非加法的で一貫性のある信念関数の微積分を構築すること。
• デッチ・ブック定理に類似したベッティング解釈を信念関数に定義し、不確実性下での合理的意思決定に基づく、規範的モデルとしての枠組みを確立すること。

提案手法

• コルモゴロフの加法性公理を、部分的知識集合 S ⊆ Ω における保証支払いに基づく新しい一貫性条件 (B2*) に置き換える。
• Bel: 2^Ω → [0,1] として定義される信念関数を、Bel(Ω) = 1 および部分集合 S における新しい支配条件 (B2*) を満たすものとして定義する。
• 基本信頼割当（質量関数）m(S) を、特定の部分集合 S における信念の度合いを表すものとし、Bel(A) = ∑_{S⊆A} m(S) と定義する。
• 新しい一貫性条件 (B2*) と、標準的な信念関数公理（特に Bel(A ∪ B) + Bel(A ∩ B) ≥ Bel(A) + Bel(B) の不等式）との同値性を確立する。
• 2つの主要な例に理論を適用する：島の問題（犯罪責任の帰属における無知のモデル化）と、予測不能なコインの裏表のギャンブルシナリオ。
• 信念関数における大数の法則を導出し、部分的知識下での合理的ベッティング行動が、信念関数の一貫性とちょうど一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無知や非加法的不確実性のモデル化における古典的確率論の問題を回避できる信念関数の微積分を構築できるか？
• RQ2 定量的不確実性枠組み内で、数学的に厳密に「信念の欠如」と「否認」を区別できるか？
• RQ3 デムプスターの法則に依存せず、デッチ・ブック定理に類似した、信念関数の合理的なベッティング解釈をどのように確立できるか？
• RQ4 予測不能なギャンブルメカニズムのように、確率分布が存在しない状況では、新しい微積分がどのように対処するか？
• RQ5 島の問題のような無情報事前分布をモデル化する際、新しい枠組みは古典的確率論とは異なる結果をもたらすか？

主な発見

• 新しい微積分は、コルモゴロフの加法性を、部分的知識下での保証支払いに基づく条件 (B2*) に置き換えることで、非加法的信念関数を可能にする。
• 島の問題は、一様事前分布が無情報事前分布と等価ではないことを示しており、新しい枠組みは無知を正しくモデル化する：Bel(Ω) = 1 かつすべての ω に対して Bel({ω}) = 0 となる。
• 操作可能なコインを含むギャンブル例では、操作プロセスに確率分布が存在しない場合でも、合理的なベッティング戦略を可能にする。
• 信念関数における大数の法則が確立され、繰り返し標本を抽出することで信念値が真の質量割当に収束することを示している。
• ベッティング解釈により、合理的なエージェントが新しい一貫性ルールに従う場合、彼らが信念関数に従って信念を割り当てることが明らかになり、この枠組みが規範的モデルとして正当化される。
• デムプスターの法則の拒否は、部分的知識下での不合理な信念更新を引き起こす可能性があることから正当化されており、それは新しい一貫性条件 (B2*) をもとに、それが破られることが示された。