[論文レビュー] Quantising the Foliation in History Quantum Field Theory

C. J. Isham, Ntina Savvidou|ArXiv.org|Oct 28, 2001

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ミンコフスキー時空における歴史量子場理論を、時空の葉付き構造を定義する単位長の時空的ベクトル $ n $ をヒルベルトバンドルを用いて量子化することによって拡張する。このバンドルは、ハイパボロイド $ H_+ $ 上に構築され、外部のローレンツ群はユニタリな相互作用作用素を介して組み込まれ、時空対称性の整合的な表現が実現され、量子重力の枠組みにおける葉付き構造の量子化の基盤が提供される。

ABSTRACT

As a preliminary to discussing the quantisation of the foliation in a history form of general relativity, we show how the discussion in \cite{SavQFT1} of a history version of free, scalar quantum field theory can be augmented in such a way as to include the quantisation of the unit-length, time-like vector that determines a Lorentzian foliation of Minkowski spacetime. We employ a Hilbert bundle construction that is motivated by: (i) discussing the role of the external Lorentz group in the existing history quantum field theory \cite{SavQFT1}; and (ii) considering a specific representation of the extended history algebra obtained from the multi-symplectic representation of scalar field theory.

研究の動機と目的

• ミンコフスキー時空におけるスカラー量子場理論の歴史形式を、時空の葉付き構造を定義する単位長の時空的ベクトル $ n $ の量子化を含むように拡張すること。
• 将来方向の単位時間的ベクトルからなるハイパボロイド $ H_+ $ 上に、ヒルベルトバンドル構造を構築し、時空対称性の整合的な表現を可能にすること。
• 外部ローレンツ群およびポアンカレ対称性を、ファイバーのヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_n $ 上のユニタリ表現を通じて歴史形式に組み込むこと。
• 歴史的量子重力の枠組みにおける時空の葉付き構造の量子化のための数学的基盤を構築すること。

提案手法

• ハイパボロイド $ H_+ = \{n \in M \mid n \cdot n = 1, n^0 > 0\} $ 上にヒルベルトバンドルを構築し、ファイバー $ \mathcal{H}_n $ を生成・消滅演算子によって生成されるフォック空間と同一視する。
• ユニタリな相互作用作用素 $ U(n; \Lambda): \mathcal{H}_n \to \mathcal{H}_{\Lambda n} $ を定義し、$ U(n; \Lambda_2)U(n; \Lambda_1) = U(n; \Lambda_2\Lambda_1) $ を満たすことで、ローレンツ変換と整合性を保つ。
• 外部ローレンツ群を、バンドルのセクションに作用するユニタリ作用素 $ W(\Lambda) $ を用いて表現し、$ \{W(\Lambda)\Psi\}(n) = U(\Lambda^{-1}n; \Lambda)\Psi(\Lambda^{-1}n) $ で定義する。
• 平行移動を $ \{W(a)\Psi\}(n) = {}^n\!U(a)\Psi(n) $ で実装し、ここで $ {}^n\!U(a) $ はファイバー $ \mathcal{H}_n $ 上の平行移動作用素である。
• ローレンツ群のユニタリ性と群準同型性を、$ H_+ $ 上の測度 $ d\mu(n) $ が $ SO(3,1) $ に対して不変であることによって保証する。
• 古典的スカラー場理論のマルチシンプレクティック表現を用いて、拡張された歴史代数を導出し、整合的な量子表現を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミンコフスキー時空におけるローレンツ葉付き構造を定義する単位長の時空的ベクトル $ n $ を、歴史量子場理論の枠組み内で一貫してどのように量子化できるか？
• RQ2 $ n $ の量子化と関連する時空対称性を支持する適切な数学的構造、特に将来方向の単位時間的ベクトルの集合 $ H_+ $ 上のヒルベルトバンドルとは何か？
• RQ3 葉付きベクトル $ n $ が個々のファイバーでローレンツ不変性を破るにもかかわらず、外部ローレンツ群が歴史ヒルベルト空間に一貫して作用する方法は何か？
• RQ4 外部時間および内部時間の両方の変換を生成する作用素 $ S = V - H $ は、この拡張された形式で一貫して実現可能か？
• RQ5 全歴史ヒルベルト空間の直接積分分解は、$ n \in H_+ $ によってラベル付けられる超選択セクターとどのように関係するか？

主な発見

• ハイパボロイド $ H_+ $ 上にヒルベルトバンドルを構築することで、葉付きベクトル $ n $ の数学的に整合的な量子化の枠組みが得られ、各ファイバー $ \mathcal{H}_n $ がフォック空間に同型であることが保証される。
• ローレンツ群 $ SO(3,1) $ の作用をファイバー上で実現するユニタリな相互作用作用素 $ U(n; \Lambda) $ が存在し、バンドル構造と整合的であることが保証される。
• バンドルのセクションに作用するローレンツ群の表現 $ W(\Lambda) $ は群の法則を満たし、内積を保存するためユニタリ性が確認される。
• 平行移動はファイバー内でのユニタリ作用素 $ {}^n\!U(a) $ を用いて実装され、ローレンツ作用と可換であり、バンドル構造を保存する。
• 全歴史ヒルベルト空間は $ H_+ $ 上の直接積分分解を許容し、$ n $ によってラベル付けられる超選択セクターの歴史的類似物が示唆される。
• 形式は外部ポアンカレ群の整合的な作用をヒルベルト空間に実現し、作用素 $ S = V - H $ が外部および内部時間の両方の変換を生成することが確認される。