[論文レビュー] Quantitative estimates on the periodic approximation of the corrector in stochastic homogenization

Antoine Gloria, Félix Otto|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、係数場にスペクトルギャップ条件が成り立つ場合に、発散型線形楕円型方程式の確率的ヘテロジネイズド化における正規化子の周期的近似に関する最適な定量的推定を確立する。De Giorgi-Nash-Moser理論を用い、グリーン関数を避けることで、$ d > 2 $ の場合に、均質化係数が $ \varepsilon^{\gamma} $ の速度でその周期的近似に収束することを証明し、$ \gamma $ は混合の強さに依存する。

ABSTRACT

In the present contribution we establish quantitative results on the periodic approximation of the corrector equation for the stochastic homogenization of linear elliptic equations in divergence form, when the diffusion coefficients satisfy a spectral gap estimate in probability, and for $d>2$. The main difference with respect to the first part of [Gloria-Otto, arXiv:1409.0801] is that we avoid here the use of Green's functions and more directly rely on the De Giorgi-Nash-Moser theory.

研究の動機と目的

• 線形楕円型偏微分方程式の確率的ヘテロジネイズド化における正規化子の周期的近似に関する定量的推定を導出すること。
• 確率的係数場にスペクトルギャップ条件が成り立つ場合の均質化係数の収束速度を確立すること。
• グリーン関数に依存しない代わりにDe Giorgi-Nash-Moser理論を用いること。
• 離散的状況から連続的状況への最適な定量的結果の拡張、特に $ d > 2 $ の場合。

提案手法

• 係数場上の確率測度にまつわるスペクトルギャップ推定に基づく分析であり、十分な混合性を保証する。
• 正規化子は平均ゼロの周期的楕円型方程式によって定義され、そのフラックスから均質化係数が導かれる。
• 鍵となる技術は、局所的な係数場の変化に起因する均質化係数の差を、正規化子勾配の $ L^2 $ ノルムによって上から抑える「振動制御」である。
• グリーン関数法を避けるために、De Giorgi-Nash-Moser理論を用いて正規化子のホルダー連続性と減衰を制御する。
• モーメントの有界性と定常性を用いた確率的推定を導出し、ポisson点過程をモデルアンサンブルとして用いる。
• dyadic立方体のチェインニングによるアプローチを用いて、均質化係数の分散を制御し、最終的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的楕円型方程式の確率的ヘテロジネイズド化における正規化子の周期的近似の最適収束速度は何か？
• RQ2 係数場に課されたスペクトルギャップ条件が、均質化行列がその周期的近似に収束する速度にどのように影響するか？
• RQ3 De Giorgi-Nash-Moser理論は、正規化子および均質化係数の定量的推定を導く際にグリーン関数法に代わって用いることができるか？
• RQ4 収束速度は次元 $ d $ にどのように依存するか、特に $ d > 2 $ の場合に。
• RQ5 ポissonアンサンブル下で、正規化子勾配のモーメント推定は、均質化係数の分散をどのように制御するか？

主な発見

• 本稿は、$ \varepsilon^{\gamma} $ の定量的収束速度を、$ \gamma > 0 $ であり、スペクトルギャップの強さに依存する形で確立する。
• ポissonアンサンブル下での均質化係数の分散が $ L^{-d} $ で有界であることが示され、周期的近似における最適減衰が裏付けられる。
• 局所領域における均質化係数の振動は、正規化子およびその双対の $ L^2 $ ノルムによって制御され、dyadic分解を介した推移的推定の鎖が得られる。
• De Giorgi-Nash-Moser理論の使用により、グリーン関数を一切用いずに主な推定を直接導出でき、従来の手法を改善する。
• 本手法により、すべての次元 $ d > 2 $ において正規化子およびその周期的近似の最適推定が得られ、以前の離散的結果の拡張がなされる。
• 本稿は、以前の離散的結果の完全な連続的アナロジーを提供し、スペクトルギャップ仮定の下で最適なモーメント有界性と収束速度が確立される。