[論文レビュー] Quantitative recurrence properties of expanding maps

José Fernández, María V. Melián+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、固定点の収縮する近傍へ軌道が無限回戻る集合のサイズを分析することにより、拡大写像における定量的再帰性の性質を確立する。写像のエントロピー、局所次元、近傍半径の減少率を用いて、このような再帰集合のハウスドルフ次元および測度の鋭い上限を得る。

ABSTRACT

Under a map T, a point x recurs at rate given by a sequence {r_n} near a point x_0 if d(T^n(x),x_0)< r_n infinitely often. Let us fix x_0, and consider the set of those x's. In this paper, we study the size of this set for expanding maps and obtain its measure and sharp lower bounds on its dimension involving the entropy of T, the local dimension near x_0 and the upper limit of 1/n log 1/r_n. We apply our results in several concrete examples including subshifts of finite type, Gauss transformation and inner functions.

研究の動機と目的

• 固定点 $x_0$ における収縮する近傍 $B(x_0, r_n)$ に対する拡大写像下での軌道の再帰を定量化すること。
• これらの収縮する近傍に無限回戻る点の集合の測度およびハウスドルフ次元を特定すること。
• これらの再帰的性質を写像の位相的エントロピー、$x_0$ における局所次元、および $r_n$ の減少率と関連付けること。
• 既知の再帰結果（例えば、ポincare や Boshernitzan）を、点そのものへの再帰から任意の固定点 $x_0$ への再帰に拡張すること。
• 一般枠組みを具体的な系に適用すること：有限型の部分シフト、ガウス写像、内部関数、およびコンパクト多様体上の拡大自己同型。

提案手法

• 固定点 $x_0$ と列 $\{r_n\}$ に対して、再帰集合 $R_{x_0}(\{r_n\}) = \{x \in X : d(T^n(x), x_0) < r_n \text{ i.o.} \}$ を定義する。
• 拡大写像に対して絶対連続不変確率測度（ACIPM）$\mu$ の存在および一意性を用いる。
• ヤコビアン $\mathbf{J}$ を通じた歪度推定と $\mathbf{J}$ のホルダー連続性を用いて、前像間の測度比を制御する。
• 減少率 $\frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ を再帰次元と関連付けるための公式 $\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ を用いる。ここで $h$ はエントロピー、$\chi$ はリャプノフ指数である。
• マルコフ分割構造と有界歪度性を用いて、前像の幾何構造とその測度を制御する。
• 結果を特定の系に適用する：ガウス写像、$S(t) = \cot \pi t$ を通じた内部関数、および有限エントロピーを有するコンパクト多様体上の拡大自己同型。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点 $x_0$ の収縮する近傍 $B(x_0, r_n)$ に無限回戻る軌道を持つ点の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 再帰次元は写像のエントロピー、$x_0$ における局所次元、および $r_n$ の減少率にどのように依存するか？
• RQ3 点そのものへの再帰に関する定量的再帰結果を、任意の固定点 $x_0$ への再帰に一般化できるか？
• RQ4 ガウス写像および内部関数の再帰的性質は、一般の拡大写像と同一の次元境界を満たすか？
• RQ5 有限エントロピーを有する拡大写像の文脈で、再帰集合が正の測度またはフル次元を有するのはどのような条件下か？

主な発見

• 再帰集合 $R_{x_0}(\{r_n\})$ のハウスドルフ次元は、$\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ を満たす。ここで $h$ は位相的エントロピー、$\chi$ はリャプノフ指数である。
• ガウス写像では、$r_n = n^{-\alpha}$（$\alpha > 0$）のとき、有限エントロピーとマルコフ構造のおかげで再帰集合はフルハウスドルフ次元 $1$ を有する。
• 有限エントロピーと単位円板内に固定点を有する内部関数に対して、関連するマルコフ写像 $T(t) = S(t) \mod 1$ は再帰境界を満たし、エントロピーは有限である：$h(f) = \log\left(\frac{1}{1-p^2}\log\frac{1}{p^2}\right) < \infty$。
• コンパクトリーマン多様体上の拡大自己同型に対して、再帰集合のハウスドルフ次元は正であり、下限として $\frac{h}{\chi}$ を有する。ここで $h$ は有限で、$\chi > 0$ である。
• 均一混合性の仮定の下で、$\sum_{n=1}^\infty \lambda(B(x_0, r_n)) = \infty$ ならば、再帰集合の測度は正（しばしばフル）である。
• 結果は鋭い。例としてガウス写像やベルヌーイシフトでは、再帰構造が完全にマルコフ的かつ一様に拡大的であるため、次元の下限が達成される。