[論文レビュー] Quantized W-algebra of sl(2,1) : a construction from the quantization of screening operators

Jíntai Ding, Boris Feigin|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、自由場理論における量子化スクリーニング作用素と可換（全差分を除く）な作用素を分析することで、Lie超代数 𝔰𝔩(2,1) に関連する量子化 W-代数を構成する。ボソン化および頂点作用素の技術を用い、相関関数が単純である一意な作用素を同定する。これにより、ボソン的スクリーニングに対しては量子化 Virasoro 代数が得られ、フェルミオン的スクリーニングに対しては新たな代数が得られ、特に 𝔰𝔩(2,1) に対する量子化 W-代数が得られる。

ABSTRACT

Starting from bosonization, we study the operator that commute or commute up-to a total difference with of any quantized screen operator of a free field. We show that if there exists a operator in the form of a sum of two vertex operators which has the simplest correlation functions with the quantized screen operator, namely a function with one pole and one zero, then, the screen operator and this operator are uniquely determined, and this operator is the quantized virasoro algebra. For the case when the screen is a fermion, there are a family of this kind of operator, which give new algebraic structures. Similarly we study the case of two quantized screen operator, which uniquely gives us the quantized W-algebra corresponding to $sl(3)$ for the generic case, and a new algebra, which is a quantized W-algebra corresponding to ${\frak sl}(2,1)$, for the case that one of the two screening operators is or both are fermions.

研究の動機と目的

• Lie超代数 𝔰𝔩(2,1) に対する量子化 W-代数を、スクリーニング作用素の量子化から導出すること。
• 量子化スクリーニング作用素と可換（全差分を除く）で、相関関数の複雑さが最小限である作用素を同定すること。
• スクリーニング作用素がボソン的またはフェルミオン的である場合の、得られる代数的構造を分類すること。
• sl(3) の場合の構成を、特に 𝔰𝔩(2,1) の超代数の場合に一般化すること。

提案手法

• フォック空間の枠組み内で自由場およびスクリーニング作用素を表現するボソン化技術を用いる。
• 全差分作用素を除いて量子化スクリーニング作用素と可換な作用素を分析する。
• 候補作用素とスクリーニング作用素との間の相関関数が、正確に1つの極と1つのゼロを持つという条件を課す。
• 相関関数の制約を満たすために、2つの頂点作用素の和として候補作用素を構成する。
• 2つのスクリーニング作用素に拡張して、sl(3) に対する量子化 W-代数と、𝔰𝔩(2,1) に対する新しい代数を導出する。
• 相関関数の構造を用いて、作用素を一意に特定し、それによって代数を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの作用素が、全差分を除いて量子化スクリーニング作用素と可換であり、相関関数が1つの極と1つのゼロを持つのか？
• RQ2 スクリーニング作用素の性質（ボソン的対フェルミオン的）が、得られる代数的構造にどのように影響するか？
• RQ3 sl(3) に対する量子化 W-代数の構成を、2つのスクリーニング作用素を用いて、超代数 𝔰𝔩(2,1) に一般化できるか？
• RQ4 少なくとも1つのスクリーニング作用素がフェルミオン的である場合、どのような新しい代数的構造が生じるか？
• RQ5 2つの頂点作用素から構成された作用素は、相関関数の条件によって一意に決定されるか？

主な発見

• スクリーニング作用素がボソン的である場合、全差分を除いて可換で、極が1つ、ゼロが1つの相関関数を持つ一意な作用素は、量子化 Virasoro 代数である。
• フェルミオン的スクリーニング作用素の場合、このような作用素は1パラメータ族として存在し、新たな代数的構造をもたらす。
• 2つのスクリーニング作用素の場合、一般の場合に、一意に量子化 W-代数が sl(3) に対して得られる。
• 少なくとも1つのスクリーニング作用素がフェルミオン的である場合、構成により新しい代数が得られ、これは Lie 超代数 𝔰𝔩(2,1) に対する量子化 W-代数として特定される。
• 得られる代数的構造は、相関関数の性質とスクリーニング作用素の性質によって完全に決定される。
• この方法により、相関関数の制約を経由して、スクリーニング作用素から量子化 W-代数を体系的に構成できる。