[論文レビュー] Quantum algorithm for solving linear systems of equations

Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 49

ひとこと要約

この論文では、解ベクトル上の演算子の期待値を推定する際、古典的手法よりも指数的かつ高速に線形方程式系を解く量子アルゴリズムを提示している。量子位相推定とハミルトニアンシミュレーションを活用することで、ランタイムが poly(log N, κ) に抑えられ、スパース行列において条件数 κ が小さい場合に、古典的手法の O(N√κ) に対して指数的スピードアップを達成する。

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is a common problem that arises both on its own and as a subroutine in more complex problems: given a matrix A and a vector b, find a vector x such that Ax=b. We consider the case where one doesn't need to know the solution x itself, but rather an approximation of the expectation value of some operator associated with x, e.g., x'Mx for some matrix M. In this case, when A is sparse, N by N and has condition number kappa, classical algorithms can find x and estimate x'Mx in O(N sqrt(kappa)) time. Here, we exhibit a quantum algorithm for this task that runs in poly(log N, kappa) time, an exponential improvement over the best classical algorithm.

研究の動機と目的

• 線形方程式 Ax = b の解ベクトル上での演算子の期待値を、効率的に推定する量子アルゴリズムの開発。
• 条件数が小さい大規模スパース線形方程式系を解く古典的手法よりも、指数的スピードアップを達成すること。
• 機械学習や最適化の応用分野において、解ベクトルの完全な情報ではなく部分的な情報のみが必要となる状況で、実用的な量子優位性を実現すること。
• 行列逆行列推定問題における誤差とランタイムの下界を証明することで、量子スピードアップの限界を形式化すること。

提案手法

• 振幅符号化を用いて、入力ベクトル b を量子状態 |b⟩ として表現する。
• 時間区間の重ね合わせに対して、ユニタリ行列 e^{iAt} による |b⟩ の時間発展をハミルトニアンシミュレーションで実行する。
• 量子位相推定を用いて、|b⟩ を行列 A の固有基底に射影し、固有値 λj を推定する。
• |λj⟩ を |λj⟩ に変換する制御回転を適用し、その振幅を λj^{-1} に比例させる。これにより、A^{-1} の実装が達成される。
• 固有値レジスタをアンコンピュートし、得られた状態 |x⟩ = A^{-1}|b⟩ を測定することで、量子測定による ⟨x|M|x⟩ の推定を行う。
• 振幅推定を用いて、誤差を制御しつつ、期待値 ⟨x|M|x⟩ の高精度推定を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的手法よりも、Ax = b の解 x に対して ⟨x|M|x⟩ を推定する量子アルゴリズムは高速に動作するか？
• RQ2 このような期待値推定の最適な量子ランタイムは何か？ これは N、κ、ε に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 このアルゴリズムは、悪条件の行列に対してもロバストに動作するようにできるか？ その場合の制限は何か？
• RQ4 量子行列逆行列アルゴリズムの誤差依存性に、根本的な限界は存在するか？
• RQ5 行列逆行列のための量子スピードアップは、BQP = PP といったより強い計算複雑性的帰結を示唆するか？

主な発見

• 期待値 ⟨x|M|x⟩ を加法的誤差 ε で推定するためのランタイムは Õ(log N ⋅ κ² ⋅ s² / ε³) であり、κ と 1/ε が N に対して多項式対数的である場合、古典的手法の O(N√κ) に対して指数的スピードアップを達成する。
• スパースで良好に条件付けられた行列に対しては、アルゴリズムは poly(log N, κ) 時間で実行され、システムサイズ N に対して古典的手法よりも指数的に高速である。
• 誤差 ε に対する誤差依存性は、BQP = PP を示唆する場合を除き、poly(1/ε) よりも改善できないことが示されている。
• 相対的下界により、任意の量子アルゴリズムが N^α ⋅ poly(κ)/ε^β 時間で行列逆行列推定問題を解けるのは、α + β ≥ 1 でない限り不可能であることが示され、誤差スケーリングの本質的限界が明らかになった。
• 正則化と前処理技術を用いることで、非エルミート的・非可逆的行列に対してもアルゴリズムを適応可能にできるが、その場合ランタイムが増加する。
• この手法により、完全な状態トモグラフィーを実行せずに、解ベクトルの正規化、重み付き和、モーメントなどのさまざまな特徴を効率的に推定可能である。