[論文レビュー] Quantum and Classic Brackets

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|Jul 25, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間における古典的ポアソン括弧と量子力学的交換関係を、半古典的極限を経由せずに生成する、ヘイゼンベルク群上での統一されたp-力学的括弧形式を導入する。位相空間の双対（q,p,ħ）に於いて観測量を表現することで、単一の代数的構造からハミルトニアン方程式とハイゼンベルク方程式が導かれる。調和振動子モデルにおいて、セガール＝バーグマン空間内での幾何的時間発展を通じて、古典的および量子的力学の等価性が示される。

ABSTRACT

We describe an $p$-mechanical (see funct-an/9405002 and quant-ph/9610016) brackets which generate quantum (commutator) and classic (Poisson) brackets in corresponding representations of the Heisenberg group. We \emph{do not} use any kind of semiclassic approximation or limiting procedures for $\hbar o 0$. Harmonic oscillator considered within the approach. Keywords: Classic and quantum mechanics, Hamilton and Heisenberg equations, Poisson brackets, commutator, Heisenberg group.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群に基づく単一の代数的枠組み内で、古典的および量子的力学を統一すること。
• 古典的および量子的力学の接続に、半古典的近似やħ → 0の極限を必要としないこと。
• ヘイゼンベルク群の1次元ユニタリ表現が、無限次元表現が量子力学を記述するのと同様に、古典力学を自然に記述することを示すこと。
• 単一のp-力学的括弧形式から、古典的および量子的運動方程式を両方導出すること。

提案手法

• （q,p,ħ）の双対としての位相空間（s,x,y）を導入する。ここで（x,y）は（q,p）のフーリエ共役であり、sはħのフーリエ双対である。
• ヘイゼンベルク群Hⁿ上の群畳み込み代数を用いてp括弧を定義し、左および右不変ベクトル場から生成される生成子を用いる。
• シュタイン＝フォン・ノイマンの定理を用い、Hⁿの既約ユニタリ表現をシュレーディンガー表現（量子力学的）および1次元表現（古典力学的）と関連付ける。
• 関数f(s,x,y)に作用する微分作用素としてp括弧を構成し、ħ→0の極限で古典的ポアソン括弧、標準表現では量子的交換関係が得られることを示す。
• 調和振動子にこの形式を適用し、セガール＝バーグマン表現を用いて、古典的および量子的両設定において、時間発展が幾何的回転として表されることを示す。
• バーグマン射影を用いてハミルトニアンをフォック空間におけるオイラー作用素に写像し、運動の回転対称性を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半古典的近似を経由せずに、1つの代数的括弧が古典的ポアソン括弧と量子的交換関係を両方生成できるか？
• RQ2 ヘイゼンベルク群の1次元ユニタリ表現が、無限次元表現が量子力学を記述するのと同様に、古典的力学をどのように記述するのか？
• RQ3 セガール＝バーグマン空間内での調和振動子に対するp-力学的時間発展の幾何的構造は何か？
• RQ4 p括弧形式が、古典的および量子的領域におけるハミルトニアン方程式とハイゼンベルク方程式をどのように統一するか？
• RQ5 （q,p,ħ）と（x,y,s）間のフーリエ双対性が、古典的および量子的力学の統一に果たす役割は何か？

主な発見

• p括弧は、ヘイゼンベルク群の1次元表現において古典的ポアソン括弧を、シュレーディンガー表現においては量子的交換関係を生成し、ħ → 0を必要としない。
• p-力学的運動方程式（3.33）は、それぞれの表現下で、古典的ハミルトニアン方程式および量子的ハイゼンベルク方程式に簡約される。
• 調和振動子において、解f(t;s,x,y) = f₀(s, e⁻ⁱᵗz)は、古典的および量子的両ケースにおいて、位相空間内での幾何的回転として同一の形で表れる。
• セガール＝バーグマン表現において、量子ハミルトニアンはオイラー作用素∑zⱼ∂/∂zⱼに変換され、その時間発展はeⁱⁿᵗ/²f(eⁱᵗz)で与えられ、回転下で状態が保存される。
• 量子ハミルトニアンの固有関数は単項式zⁿであり、固有値はnである。時間発展下で遷移は生じないため、安定なエネルギー準位が得られる。
• p括弧形式は、深い対称性を示している：古典的および量子的力学は、Hⁿ上での同一の群構造から生じており、唯一の違いは表現の選択に過ぎない。