[論文レビュー] Quantum annealing for polynomial systems of equations

Chia Cheng Chang, Arjun Singh Gambhir+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、反復的収束問題を回避する量子アニーリングベースの直接法を、多項方程式系の解法に提案する。商用量子アニーラー上で2次多項方程式および線形方程式系が成功裏に解かれた。反復的アニーリングプロセスにより10⁻⁸の許容誤差で高い精度を達成した。これは数値的方程式解法における新しい量子的手法を提供する。

ABSTRACT

Numerous scientific and engineering applications require numerically solving systems of equations. Classically solving a general set of polynomial equations requires iterative solvers, while linear equations may be solved either by direct matrix inversion or iteratively with judicious preconditioning. However, the convergence of iterative algorithms is highly variable and depends, in part, on the condition number. We present a direct method for solving general systems of polynomial equations based on quantum annealing, and we validate this method using a system of second-order polynomial equations solved on a commercially available quantum annealer. We then demonstrate applications for linear regression, and discuss in more detail the scaling behavior for general systems of linear equations with respect to problem size, condition number, and search precision. Finally, we define an iterative annealing process and demonstrate its efficacy in solving a linear system to a tolerance of $10^{-8}$.

研究の動機と目的

• 一般の多項方程式系を解く直接的量子手法を開発し、古典的反復解法の変数収束問題を回避すること。
• 特に2次方程式に対して、商用量子アニーラーを用いた多項方程式系の解法の実現可能性を検証すること。
• 問題サイズ、条件数、解の精度に関して、線形方程式系に対する量子アニーリングのスケーリング特性を調査すること。
• 線形方程式系における解の精度を向上させるための反復的アニーリングプロセスを導入し、評価すること。

提案手法

• 多項方程式系を、量子アニーリングに適した二次無制約バイナリ最適化（QUBO）問題にマッピングする。
• 方程式系を、解に対応する基底状態が最小化されるコスト関数として定式化し、量子アニーリングにより最小化する。
• 線形方程式系の場合、反復的精錬を経ずに直接QUBOにマッピングすることで、量子フレームワーク内で正確な解を得る。
• 反復的アニーリングプロセスを導入し、複数回のアニーリングサイクルにわたり解を精錬することで精度を向上させる。
• 本手法は、量子アニーラーがエネルギー障害を探索し、低エネルギー状態（解に対応）に収束する能力を活用する。
• 解の精度は、アニーリングスケジュールおよび反復的精錬ステップの調整により制御され、10⁻⁸の許容誤差まで達成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アニーリングは、反復的収束の落とし穴を避ける多項方程式系の直接的ソルバーとして利用可能か？
• RQ2 線形方程式系において、問題サイズおよび条件数の増加に伴い、量子アニーリングの性能はどのように変化するか？
• RQ3 線形方程式系に対して、量子アニーリングによる解の達成可能な精度はどの程度か？また、反復的精錬により向上可能か？
• RQ4 提案された反復的アニーリングプロセスは、線形方程式の解の精度向上にどの程度有効か？

主な発見

• 本手法は、商用量子アニーラー上で2次多項方程式系を成功裏に解いた。これにより、本手法の実現可能性が示された。
• 反復的アニーリングプロセスを用いることで、線形方程式系に対して10⁻⁸の解の許容誤差を達成した。これは高い精度を示している。
• スケーリング特性の分析から、解の精度および収束性は問題サイズおよび条件数に依存しており、条件数が高いと性能が低下することが判明した。
• 反復的アニーリングプロセスは解の精度を顕著に向上させた。これは、複数回のアニーリングサイクルが単一実行に比べて精度を向上させることを示している。