[논문 리뷰] Quantum asymptotic spectra of graphs and non-commutative graphs, and quantum Shannon capacities

Yinan Li, Jeroen Zuiddam|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 01.

Graph theory and applications참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 및 얽힘 보조 동형사상 하에서 그래프와 비가환 그래프에 대한 양자 점점 큰 스펙트럼을 도입함으로써 그래프의 渐近 스펙트럼 이론을 양자 환경으로 확장한다. 이는 분수 실수 및 복소 하이머 경계가 양자 점점 큰 스펙트럼의 스펙트럼 점임을 증명하고, 양자 샤논 용량을 상한으로 제시하며, 양자 샤논 용량과 로바즈 씨 함수가 일치하지 않음을 보여, 양자 정보 이론에서 오랫동안 남아 있던 두 가지 추측을 반증한다.

ABSTRACT

We study quantum versions of the Shannon capacity of graphs and non-commutative graphs. We introduce the asymptotic spectrum of graphs with respect to quantum and entanglement-assisted homomorphisms, and we introduce the asymptotic spectrum of non-commutative graphs with respect to entanglement-assisted homomorphisms. We apply Strassen's spectral theorem (J. Reine Angew. Math., 1988) in order to obtain dual characterizations of the corresponding Shannon capacities and asymptotic preorders in terms of their asymptotic spectra. This work extends the study of the asymptotic spectrum of graphs initiated by Zuiddam (Combinatorica, 2019) to the quantum domain. We then exhibit spectral points in the new quantum asymptotic spectra and discuss their relations with the asymptotic spectrum of graphs. In particular, we prove that the (fractional) real and complex Haemers bounds upper bound the quantum Shannon capacity, which is defined as the regularization of the quantum independence number (Mančinska and Roberson, J. Combin. Theory Ser. B, 2016), and that the fractional real and complex Haemers bounds are elements in the quantum asymptotic spectrum of graphs. This is in contrast to the Haemers bounds defined over certain finite fields, which can be strictly smaller than the quantum Shannon capacity. Moreover, since the Haemers bound can be strictly smaller than the Lovász theta function (Haemers, IEEE Trans. Inf. Theory, 1979), we find that the quantum Shannon capacity and the Lovász theta function do not coincide. As a consequence, two well-known conjectures in quantum information theory cannot both be true.

연구 동기 및 목표

• 양자 및 얽힘 보조 동형사상이 포함된 양자 환경으로 스트라센의 점점 큰 스펙트럼 이론을 확장하기.
• 양자 및 얽힘 보조 동형사상 전순서 하에서 그래프와 비가환 그래프의 점점 큰 스펙트럼을 정의하고 특성화하기.
• 양자 샤논 용량과 스펙트럼 점 간의 이중성, 특히 하이머 경계를 조사하기.
• 양자 샤논 용량, 로바즈 씨 함수, 그리고 얽힘 보조 0오차 용량 간의 관계에 대한 열린 질문들을 해결하기.
• 양자 샤논 용량과 로바즈 씨 함수가 같지 않음을 입증함으로써 양자 정보 이론에서 중심적인 두 가지 추측을 무효화하기.

제안 방법

• 점점 큰 스펙트럼 이론을 적용하여 양자 샤논 용량의 쌍대 특성화를 정의한다.
• 양자 및 얽힘 보조 동형사상에 대해 그래프의 점점 큰 스펙트럼을 도입한다.
• 얽힘 보조 코동형사상 전순서 하에서 비가환 그래프의 점점 큰 스펙트럼을 정의한다.
• 준거 프로그래밍과 연산자 공간 기법을 사용하여 얽힘 보조 독립 집합과 코동형사상을 분석한다.
• 분수 실수 및 복소 하이머 경계가 그래프의 양자 점점 큰 스펙트럼의 원소임을 증명한다.
• 경계와 스펙트럼 점을 비교하여 양자 샤논 용량이 로바즈 씨 함수와 같지 않음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 큰 스펙트럼 이론은 그래프 이론에서 양자 동형사상 및 얽힘 보조 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 분수 실수 및 복소 하이머 경계는 그래프의 양자 점점 큰 스펙트럼의 스펙트럼 점인가?
• RQ3 양자 샤논 용량은 로바즈 씨 함수와 일치하는가, 아니면 엄격히 다를까?
• RQ4 양자 샤논 용량이 그것과 다를 경우, 고전적 채널의 얽힘 보조 0오차 용량이 로바즈 씨 함수와 같을 수 있는가?
• RQ5 유한 체 하이머 경계는 양자 샤논 용량과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 분수 실수 및 복소 하이머 경계는 그래프의 양자 점점 큰 스펙트럼의 원소로서, 양자 샤논 용량을 상한으로 제시하는 스펙트럼 점을 제공한다.
• 양자 샤논 용량은 로바즈 씨 함수보다 엄격히 작으며, 하이머 경계가 로바즈 씨 함수보다 엄격히 작은 그래프가 존재함으로써 이를 입증한다.
• 양자 샤논 용량과 로바즈 씨 함수는 일치하지 않으며, 이는 얽힘 보조 0오차 용량이 로바즈 씨 함수와 같고, 최대 얽힘 상태가 용량 달성에 충분하다는 두 가지 주장이 동시에 참일 수 없음을 의미한다.
• 유한 체에서의 하이머 경계는 양자 샤논 용량보다 엄격히 작을 수 있으며, 이는 이러한 경계가 양자 점점 큰 스펙트럼의 스펙트럼 점이 아니라는 것을 보여준다.
• 비양자 보조 코동형사상 전순서는 비가환 그래프에서 스트라센 전순서의 성질을 만족하지 못하지만, 얽힘 보조 측면에서는 그러한 성질를 만족하므로, 비양자 케이스에서는 쌍대 특성화가 제한된다.
• 얽힘 보조 설정은 텔레포트레이션을 가능하게 하여 고전적 채널이 심지어 한 큐비트조차도 전송할 수 없는 한계를 극복하며, 이는 얽힘 보조 전순서가 필요한 스트라센 성질을 만족하는 이유를 설명한다.