[論文レビュー] Quantum BCOV theory on Calabi-Yau manifolds and the higher genus B-model

Kevin J. Costello, Si Li|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 71

ひとこと要約

本稿は、形式的パラメータを伴う多ベクトル場を用いて、任意の次元のカラビ＝ヤウ多様体上で一般化された量子BCOV理論を定式化し、再生化技術を用いて量子化を構成する。また、双対性方程式を満たす楕円曲線上での量子BCOV理論の存在および一意性を証明し、鏡像対称性を介して分割関数とグロモフ＝ウィトテン不変量を結びつける。

ABSTRACT

Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV) proposed that the B-model of mirror symmetry should be described by a quantum field theory on a Calabi-Yau variety, which they called the Kodaira-Spenser theory (we call it the BCOV theory). This is the first of three papers in which we construct and analyze the quantum BCOV theory. In this paper, we construct the classical field theory on a Calabi-Yau variety of arbitrary dimension; define what it means to give a quantization; analyze the relation Givental's symplectic formalism for Gromov-Witten theory; prove uniqueness of the quantization on an elliptic curve; and prove the Virasoro constraints on an elliptic curve. The second paper (arXiv:1112.4063) proves that the partition function of the quantum BCOV theory on the elliptic curve is equivalent to the Gromov-Witten theory of the mirror elliptic curve. The third paper, in progress, constructs the quantum BCOV theory on a general Calabi-Yau.

研究の動機と目的

• 元々3次元カイラビ＝ヤウ多様体にのみ定義されていた古典的BCOV理論を、任意の次元のカイラビ＝ヤウ多様体へと拡張すること。
• 高 genus Bモデルのための数学的枠組みを、再生化技術を用いて一般化BCOV理論を量子化することで構築すること。
• 鏡像対称性を介して、量子BCOV理論の分割関数と鏡像カイラビ＝ヤウ多様体のグロモフ＝ウィトテン不変量との関係を確立すること。
• 双対性方程式の制約下で、楕円曲線上に一意な量子BCOV理論が存在することを証明すること。
• ホッジフィルトレーションとその補完フィルトレーションに基づき、コhomology上のシンプレクティック構造の極化を用いて、BCOV理論における相関関数を構成すること。

提案手法

• 形式的パラメータ $ t $ を伴うカイラビ＝ヤウ多様体上の多ベクトル場、すなわち $ \mathrm{PV}(X)[[t]] $ を場として定義し、古典的マスター方程式を満たす作用 functional を導入することで、古典的BCOV理論を一般化する。
• Cos11 に従う再生化技術を用いて、カイラビ＝ヤウ多様体上での一般化BCOV理論の量子化を定義する。
• ホロモーフィック体積形式を含む留数公式によって定義されるシンプレクティックペアリングを備えた、$ H^*(X)((t)) $ のコhomologyからフォック空間を構成する。
• ホッジフィルトレーションを用いてラグランジュ部分空間を定義し、その補完フィルトレーション $ \overline{F} $ の選択と組み合わせることで、相関関数を定義する極化を得る。
• フォック空間形式における分割関数のテイラー係数として、相関関数 $ \langle - \rangle_{g,n}^{X,\overline{F}} $ を定義する。
• 障害理論とスペクトル系列技術を用いて、関連する三重次数におけるコhomology類の消滅を証明し、双対性方程式の制約を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的BCOV理論は、元来3次元カイラビ＝ヤウ3-foldにのみ定義されていたが、任意の複素次元のカイラビ＝ヤウ多様体へ一般化可能か？
• RQ2 一般化BCOV理論は、カイラビ＝ヤウ多様体上で一貫した量子化を有するか？ また、再生化手法によって構成可能か？
• RQ3 量子BCOV理論の分割関数は、カイラビ＝ヤウ多様体のコhomologyから構成されたフォック空間上の状態と自然に関連しているか？
• RQ4 楕円曲線の場合、双対性方程式を満たす一意な量子BCOV理論が存在するか？ また、これと鏡像のグロモフ＝ウィトテン不変量とはどのように関係するか？
• RQ5 鏡像対称性の下で、BCOV理論の相関関数はグロモフ＝ウィトテン不変量とどのように関係するか？ また、極化の選択はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 双対性方程式を課した場合、任意の楕円曲線 $ E $ 上に一意な量子BCOV理論が存在し、障害理論によって一意性が確立される。
• 量子マスター方程式により、分割関数が $ H^*(X)((t)) $ から構成されたフォック空間上に位置することが保証され、ホロモーフィック体積形式を含む留数公式によって定義されるシンプレクティックペアリングを備える。
• $ \mathrm{d}_0 $ および $ \mathrm{d}_1 $ 演算子のスペクトル系列解析において、三重次数 $ (i+2b, a, b) $ で $ i > -2 $、$ a \geq 0 $、$ b \in \mathbb{Z} $ の範囲でコホモロジーが消えることが確認され、余分なクラスの存在が否定される。
• $ A_k $ の $ \mathrm{d}_1 $ コホモロジーは $ k > 1 $ に対して $ B_k = \delta_1\delta_0 e_k^2 \mathbb{C}[[\delta_2,\delta_3,\ldots,e_0,e_2,\ldots,e_k]] $ に同型であり、$ k=1 $ および $ k=0 $ の場合にも同様の形をとるが、これらは関連するコホモロジーに寄与しないことが示される。
• 臨界三重次数におけるコホモロジーの消滅の証明は、三重次数解析と重み作用素 $ W $ の非ゼロ固有値に依拠しており、量子理論の存在に対する障害がないことを保証する。
• この構成により、高 genusにおけるBCOV理論の厳密な数学的実現が得られ、鏡像対称性を介してグロモフ＝ウィトテン不変量と結びつけられることが確認された。この結果は、楕円曲線の場合に [Li11] の補足論文で裏付けられている。