[論文レビュー] Quantum bounds for ordered searching and sorting

Peter Høyer, Jan Neerbek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子ブラックボックスモデルにおける順序付き探索および順序付けのための改善された量子下界を確立する。順序付きリストの探索に対する下界は (1/π)(ln N − 1) であり、N 要素のソートに対する下界は N/(2π)(ln N − 1) である。また、log₃N + O(1) クエリを用いた正確な量子アルゴリズムを提示する。これは、量子ルーチンを用いて探索木の走査を古典的バイナリサーチよりも高速に実行できる、古典的バイナリサーチの量子最適化版である。

ABSTRACT

We consider the quantum complexities of searching an ordered list and sorting an un-ordered list. For searching an ordered list of N elements, we prove a lower bound of \\frac{1}{\\pi}(\\ln(N)-1) on the number of oracle queries that access the list elements. This improves the previously best lower bound of ({1/12}\\log_2(N) - O(1)) due to Ambainis. For sorting N numbers, we prove a lower bound of \\frac{N}{2\\pi}(\\ln(N)-1) on the number of binary comparisons. The previously best lower bound is \\Omega(N). Our proofs are based on a weighted all-pairs inner product argument, and our results generalize to bounded error quantum algorithms. Both results are proven in the so-called quantum black box model, a quantum analogue of classical decision trees. In addition to our lower bound results, we give an exact quantum algorithm for ordered searching using (\\log_3(N) + O(1)) queries, which is roughly 0.631 \\log_2(N). Although our algorithm is worse than that of Farhi, Goldstone, Gutmann and Sipser, which makes 0.526 \\log_2(N) queries, its philosophy is completely different. Our algorithm is a quantum version of the classical binary search algorithm, and it uses a quantum routine for traversing through a binary search tree faster than classically.

研究の動機と目的

• 順序付きリストの探索および無順序リストのソートにおける量子クエリ複雑度のより緊密な下界を確立すること。
• 探索木の走査における量子スピードアップを活用する、順序付き探索のための量子アルゴリズムを開発すること。
• 結果を有界誤差量子アルゴリズムおよび量子ブラックボックスモデルに一般化すること。
• アーバインスらが確立した先行の下界、特にソートに関しての下界を改善すること。

提案手法

• すべてのペア間内積に重みを付けて量子クエリ下界を導出する。
• 量子ブラックボックスモデルを適用し、古典的意思決定木の量子版としてクエリ複雑度を形式化する。
• 古典的バイナリサーチ構造を基盤としながらも、量子走査ルーチンを統合した順序付き探索のための量子アルゴリズムを設計する。
• 量子アモニチュード増幅と状態操作を用いて、探索木の探索を加速する。
• 順序付きおよび無順序データへの量子アクセスの情報理論的限界を分析することで、下界を導出する。
• 誤差伝搬とクエリ効率の分析を通じて、結果を有界誤差量子アルゴリズムに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ N の順序付きリストを探索するために必要な最小の量子クエリ数は何か？
• RQ2 N 個の無順序要素をソートするための量子クエリ複雑度の下界は何か？
• RQ3 古典的バイナリサーチの構造を保ちつつ、量子スピードアップを達成できる量子アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 新しい下界は、量子ブラックボックスモデルにおける既知の下界と比べてどう異なるか？
• RQ5 ソートおよび探索のための量子アルゴリズムは、どの程度まで有界誤差設定に一般化できるか？

主な発見

• 量子順序付き探索のための新しい下界 (1/π)(ln N − 1) が証明され、アーバインスの以前の下界 (1/12)log₂N − O(1) よりも改善されている。
• N 要素のソートに関して、下界 N/(2π)(ln N − 1) が確立され、以前の Ω(N) の下界よりもきついものである。
• log₃N + O(1) クエリを用いた正確な量子アルゴリズムが構築され、これは約 0.631 log₂N クエリに相当する。
• 提案された量子アルゴリズムは、古典的バイナリサーチの直接的な量子アナログであり、探索木の走査を古典的走査よりも高速に実行する量子ルーチンを用いている。
• 結果は有界誤差量子アルゴリズムに一般化され、さまざまな誤差領域においても堅牢であることが示された。
• 重み付きすべてのペア内積の議論が、構造的問題における量子クエリ複雑度下界を導出する強力なツールであることが示された。