[論文レビュー] Quantum Codes from Generalized Reed-Solomon Codes and Matrix-Product Codes

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限体上でのヘルミート自己直交一般化リード・ソロモン符号を用いて、3つの新しいクラスの量子MDS符号を提案し、行列積符号とヘルミート構成を組み合わせた量子符号の新規構成法を導入する。主な貢献は、従来の知られていなかった量子MDS符号の発見であり、符号長 $ q^2 - 1 $ および最小距離 $ q $ まで達する符号を含み、既存の文献における符号と比較してパラメータが向上している。

ABSTRACT

One of the central tasks in quantum error-correction is to construct quantum codes that have good parameters. In this paper, we construct three new classes of quantum MDS codes from classical Hermitian self-orthogonal generalized Reed-Solomon codes. We also present some classes of quantum codes from matrix-product codes. It turns out that many of our quantum codes are new in the sense that the parameters of quantum codes cannot be obtained from all previous constructions.

研究の動機と目的

• 既存の構成法よりも優れたパラメータを有する新しい量子MDS符号の構築。
• 量子MDS符号の既知の範囲を $ q/2 + 1 $ の最小距離の上限を超えて拡張すること。
• 行列積符号とヘルミート構成を組み合わせた、量子符号構築の新手法の開発。
• すべての $ 2 \leq d \leq q $ に対して、符号長 $ q^2 - 1 $、最小距離 $ d $ の $ q $-元量子MDS符号の存在を示すこと。

提案手法

• 有限体 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上のヘルミート自己直交一般化リード・ソロモン符号を活用し、ヘルミート構成により量子MDS符号を構築する。
• 特定の $ q $ の代数的形、すなわち $ q = 2am+1 $、$ q = 2am-1 $、$ q = (2a+1)m-1 $ における構造的条件に基づき、3つの新しい量子MDS符号の族を導出する。パラメータは明示的である。
• $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上の $ s \times s $ 正則行列 $ A $ を用いて行列積符号構成を適用し、$ A^{(q)} $ も正則であるようにする。
• 成分符号 $ C_i $ に対してヘルミート双対包含条件 $ C_i^\perp^H \subseteq C_i $ を満たすことで、結果として得られる行列積符号がヘルミート双対包含であることを保証する。
• 行列積符号構成とヘルミート構成を組み合わせることで、パラメータが向上した新しい量子符号を生成する。
• 既知の符号長 $ q^2+1 $ および $ q^2 $ のヘルミート双対包含符号を用い、符号長 $ 2q^2+2 $、$ 2q^2 $、$ 2q^2-2 $ の新しい量子符号をそれぞれ $ [[2q^2+2, 2q^2+6-3d, \geq d]]_q $、$ [[2q^2, 2q^2+4-3d, \geq d]]_q $、$ [[2q^2-2, 2q^2+2-3d, \geq d]]_q $ のパラメータで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の代数的形 $ q $ を持つ一般化リード・ソロモン符号から、新しい量子MDS符号の族を構築可能か？
• RQ2 符号長 $ q^2 - 1 $ の量子MDS符号の達成可能なパラメータは何か？ また、最小距離 $ d \leq q $ を達成可能か？
• RQ3 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上の行列積符号とヘルミート構成を組み合わせることで、既存のものよりも優れたパラメータを持つ量子符号が得られるか？
• RQ4 得られた量子符号のパラメータは、既知の量子符号のオンラインテーブルと比較してどのように異なるか？

主な発見

• 3つの新しい $ q $-元量子MDS符号のクラスが構築された：$ q = 2am+1 $、$ q = 2am-1 $、$ q = (2a+1)m-1 のそれぞれについて、パラメータは $ a $、$ m $、$ d $ に依存する明示的表現を持つ。
• すべての $ 2 \leq d \leq q $ に対して、符号長 $ q^2 - 1 $、最小距離 $ d $ の $ q $-元量子MDS符号が存在し、従来の結果を拡張している。
• $ q $ が奇素数べきのとき、符号長 $ 2q^2+2 $、$ 2q^2 $、$ 2q^2-2 $ の新しい量子符号がそれぞれ $ [[2q^2+2, 2q^2+6-3d, \geq d]]_q $、$ [[2q^2, 2q^2+4-3d, \geq d]]_q $、$ [[2q^2-2, 2q^2+2-3d, \geq d]]_q $ のパラメータで構築された。
• 構築された量子符号は、オンラインテーブル [9] に掲載されたものよりも優れたパラメータを有しており、表Iに示すように、同じ符号長および最小距離に対して次元がより高い。
• 具体的な例として、$ [[20,14,\geq3]]_3 $、$ [[48,28,\geq8]]_5 $、$ [[164,152,\geq5]]_9 $ が挙げられ、いずれも従来の知られていた符号を上回る性能を示している。
• 行列積符号とヘルミート双対性を用いた構成法により、従来の方法では得られない量子符号が得られ、パラメータ空間におけるその新規性が確立された。