[論文レビュー] Quantum Computation by Geometrical Means

Jiannis K. Pachos|ArXiv.org|Mar 31, 2000

Quantum Mechanics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、縮退量子系における非アーベルホロノミーを用いた普遍的量子計算フレームワークを提案する。ここでユニタリ論理ゲートはパラメータ空間内での閉路に沿った断熱的発展によって実現される。主な貢献は、CP²およびグラスマン多様体上で幾何的位相を用いて、単一および二量子ビットのホロノミックゲートを含む普遍ゲートセットの明示的構成であり、位相的ロバスト性による誤り耐性のある量子計算を可能にする。

ABSTRACT

A geometrical approach to quantum computation is presented, where a non-abelian connection is introduced in order to rewrite the evolution operator of an energy degenerate system as a holonomic unitary. For a simple geometrical model we present an explicit construction of a universal set of gates, represented by holonomies acting on degenerate states.

研究の動機と目的

• 縮退量子系における幾何位相に基づく普遍的量子計算モデルの開発。
• 非アーベル接続上の断熱的ホロノミーが普遍的量子ゲートを実装可能であることを示すこと。
• 単一量子ビットにはCP²幾何、二量子ビットもつれ状態にはグラスマン多様体を用いて物理的実装を構築すること。
• ホロノミック発展を通じて微分幾何学と量子情報処理の間の接続を確立すること。
• 変位、歪み、干渉計デバイスを備えた量子光学系を用いた実験的実現可能性の検討。

提案手法

• エネルギー縮退系における断熱的等スペクトル発展を用い、非アーベルホロノミーによりユニタリ発展演算子を生成する。
• 単一量子ビットを複素射影空間 CP² ≅ U(3)/(U(2)×U(1)) でモデル化し、状態を複素座標 zα でパラメータ化する。
• 縮退部分空間上で作用する U(2)生成子を用いて、Uα(zα) = exp(Gα(zα)) というユニタリ変換を構築する。ここで Gα(zα) = zα|α⟩⟨~2| − z̄α|~2⟩⟨α| である。
• パラメータ多様体上に非アーベル接続 A を導入し、閉路 C に対してホロノミー ΓA(C) = P exp(∫C Aμ dλμ) を定義する。
• 二量子ビット相互作用には、状態 |24⟩ と |~2~4⟩ 間の双線形 U(2) 変換を定義するためのグラスマン多様体 G(4,2) を用いる。
• ホロノミー発展により論理ゲートを実現する：U(C) = 1 cosΣ + g sinΣ であり、Σ はコンパクト化された S² 上のループ C が囲む面積である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル幾何位相を用いて普遍的量子ゲートセットを構築可能か？
• RQ2 CP²および G(4,2) 多様体上のホロノミック発展が、単一および二量子ビットの量子論理演算をどのように実現するか？
• RQ3 ループが囲む面積 Σ が得られるユニタリ変換に果たす役割は何か？
• RQ4 ホロノミックゲートのロバスト性を、ループパスの制御誤差に対してどのように活用できるか？
• RQ5 どの実験的量子光学系が、必要なパラメータ依存ハミルトニアンおよび断熱的制御を実現可能か？

主な発見

• CP²および G(4,2) 上のホロノミーを用いて、単一量子ビット回転および制御位相ゲートを含む普遍的量子ゲートセットが構築された。
• (θ,φ) 平面上のループ C に対するホロノミーは、ΓA(C) = diag(1,1,1,exp(−iΣ)) という対角行列となり、Σ = ∫D(C) dθ dφ sin2θ である。これは制御位相ゲートを表す。
• 単一量子ビットゲートは (θα,φα) 平面上のパスに対応するホロノミーにより実現され、面積 Σ₁ および Σ₂ に対応する σ³ 軸および σ² 軸まわりの回転が生成される。
• −iσ¹, −iσ², −iσ³ の生成子は、異なる平面上のループ C₁, C₂, C₃ を選ぶことで得られ、U(2) リー代数を完全に張る。
• 制御位相ゲート UCPH = diag(1,1,1,exp(−iΣ)) は (θ,φ) 平面上のループを用いて明示的に構築され、二量子ビットもつれを可能にする。
• レーザー光ビームを非線形Kerr媒質に用いた量子光学実装が提案され、H₀ = n(n−1) であり、|0⟩ と |1⟩ が縮退した基底状態として用いられ、変位および歪み操作により制御される。