[論文レビュー] Quantum Cross Entropy and Maximum Likelihood Principle

Zhou Shangnan, Yixu Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ S(\rho,\sigma) = -\text{tr}(\rho \log \sigma) $ として定義される、古典的交差エントロピーの量子一般化、すなわち量子交差エントロピーを導入し、その数学的性質を確立する。特に、量子フィデリティを用いた下界が示される。量子交差エントロピーを最小化することは、データが測定によって干渉されない場合に限り、尤度を最大化することと等価である。一方、測定による情報損失が生じる場合には、この等価性が破れる。この結果、完全な量子機械学習において最適化の性質を保持するためには、測定を延期することが不可欠であると結論づける。

ABSTRACT

Quantum machine learning is an emerging field at the intersection of machine learning and quantum computing. Classical cross entropy plays a central role in machine learning. We define its quantum generalization, the quantum cross entropy, prove its lower bounds, and investigate its relation to quantum fidelity. In the classical case, minimizing cross entropy is equivalent to maximizing likelihood. In the quantum case, when the quantum cross entropy is constructed from quantum data undisturbed by quantum measurements, this relation holds. Classical cross entropy is equal to negative log-likelihood. When we obtain quantum cross entropy through empirical density matrix based on measurement outcomes, the quantum cross entropy is lower-bounded by negative log-likelihood. These two different scenarios illustrate the information loss when making quantum measurements. We conclude that to achieve the goal of full quantum machine learning, it is crucial to utilize the deferred measurement principle.

研究の動機と目的

• 量子機械学習への応用を目的として、古典的交差エントロピーの量子一般化を形式化すること。
• 量子測定の有無の下で、量子交差エントロピーと最大尤度原理との関係を調査すること。
• 測定結果に基づく経験的密度行列を構築する際の、量子測定による情報損失を同定すること。
• 最適化の性質を保持する量子機械学習アルゴリズムの設計の理論的基盤を確立すること。
• 完全な量子機械学習を実現するための鍵となる、延期測定の原則を提唱すること。

提案手法

• 量子交差エントロピーを $ S(\rho,\sigma) = -\text{tr}(\rho \log \sigma) $ として定義し、古典的交差エントロピーを密度行列へ一般化する。
• 基本的性質の証明：正値性、ユニタリ不変性、第一引数における線形性、第二引数における凸性、および jointly convexity。
• 下界の確立：$ S(\rho,\sigma) \geq -\log \text{tr}(\rho\sigma) \geq -\log F(\rho,\sigma) $ であり、これは量子フィデリティと関連する。
• 2つの状況を分析：(1) 測定によって干渉されない量子データでは、量子交差エントロピーの最小化は尤度の最大化と数学的に等価である。 (2) 測定結果に基づく経験的密度行列では、量子交差エントロピーは負の対数尤度によって下から抑えられる。
• 延期測定の原則を用いて、早期の測定を避けることで、量子交差エントロピーの最小化と尤度の最大化の等価性が保持されることを主張する。
• ランク1射影演算子下でのランク恒等式および交換子条件に関する補足的証明を提供し、主な理論的主張を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的状況における交差エントロピー最小化と尤度最大化の等価性は、量子状態でも成立するか？
• RQ2 量子測定は、量子交差エントロピーと尤度最大化の関係にどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案された量子交差エントロピーの数学的構造と性質の集合は何か？
• RQ4 測定データから構築された量子交差エントロピーは、負の対数尤度によって下から抑えられるか？
• RQ5 延期測定の原則は、量子機械学習の最適化構造を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 量子交差エントロピー $ S(\rho,\sigma) = -\text{tr}(\rho \log \sigma) $ は、正値性、ユニタリ不変性、第二引数における凸性、および jointly convexity を示すことが証明された。
• タイトな下界が確立された：$ S(\rho,\sigma) \geq -\log F(\rho,\sigma) $、ここで $ F(\rho,\sigma) = \left(\text{tr} \sqrt{\rho\sigma}\right)^2 $ は量子フィデリティである。
• 量子データが測定によって干渉されない場合、量子交差エントロピーの最小化は数学的に尤度関数の最大化と等価である。
• 測定結果に基づく経験的密度行列から構築された量子交差エントロピーは、負の対数尤度によって下から抑えられることが示され、測定による情報損失が生じていることが示唆された。
• 干渉なしと測定ありの2つの状況の差異は、量子測定が古典的等価性（交差エントロピー最小化と尤度最大化）を破ることを示している。
• 本研究は、完全な量子機械学習において最適化構造を保持するためには、延期測定の原則が不可欠であると結論づける。