[論文レビュー] Quantum Davidson Algorithm for Excited States

Nikolay V. Tkachenko, Łukasz Cincio+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、固有状態の残差と前処理を用いて反復的にKrylov部分空間を拡張することで、基底状態および励起状態計算の収束を加速する、新しい量子Krylov部分空間法であるQuantum Davidson（QDavidson）アルゴリズムを紹介する。既存のQKS手法（例：QLanczos）と比較して、より速い収束と浅い回路を実現し、NISQ時代の量子デバイスに対してより頑健である。

ABSTRACT

Excited state properties play a pivotal role in various chemical and physical phenomena, such as charge separation and light emission. However, the primary focus of most existing quantum algorithms has been the ground state, as seen in quantum phase estimation and the variational quantum eigensolver (VQE). Although VQE-type methods have been extended to explore excited states, these methods grapple with optimization challenges. In contrast, the quantum Krylov subspace (QKS) method has been introduced to address both ground and excited states, positioning itself as a cost-effective alternative to quantum phase estimation. Our research presents an economic QKS algorithm, which we term the quantum Davidson (QDavidson) algorithm. This innovation hinges on the iterative expansion of the Krylov subspace and the incorporation of a pre-conditioner within the Davidson framework. By using the residues of eigenstates to expand the Krylov subspace, we manage to formulate a compact subspace that aligns closely with the exact solutions. This iterative subspace expansion paves the way for a more rapid convergence in comparison to other QKS techniques, such as the quantum Lanczos. Using quantum simulators, we employ the novel QDavidson algorithm to delve into the excited state properties of various systems, spanning from the Heisenberg spin model to real molecules. Compared to the existing QKS methods, the QDavidson algorithm not only converges swiftly but also demands a significantly shallower circuit. This efficiency establishes the QDavidson method as a pragmatic tool for elucidating both ground and excited state properties on quantum computing platforms.

研究の動機と目的

• 電荷分離や光放出などのプロセスに不可欠な、量子多体系における励起状態を効率的に計算する課題に対処する。
• 最適化の困難さと高いリソースコストに苦しむ、既存のVQE型手法の限界を克服する。
• 事前に生成された部分空間を必要とする、量子位相推定や既存の量子Krylov部分空間（QKS）手法に対する、コスト効率の良い代替手法を開発する。
• 拡張的で数値的に不安定な部分空間を避けることで、NISQ時代の量子計算における回路の深さを低減し、収束速度を向上させる。
• 反復的で残差に基づく部分空間拡張により、低エネルギー励起状態の実用的計算を、量子リソースの要件を最小限に抑えて可能にする。

提案手法

• 既存のQKS手法（例：QLanczos）と比較して、反復的に固有状態の残差を用いてKrylov部分空間を拡張する新しい量子Krylov部分空間（QKS）アルゴリズム、QDavidsonを提案する。
• 収束速度と安定性を向上させるために、Davidsonフレームワーク内に前処理を組み込む。
• 実時間または虚時間発展による従来の部分空間事前生成を、動的で残差駆動型の拡張メカニズムに置き換える。
• 量子回路を用いて、進化するKrylov部分空間内でのハミルトニアンおよび重なり行列要素を測定し、ショットノイズは精度の閾値でモデル化する。
• 残差ベクトルを制御された演算子プールを用いてユニタリに写像し、測定コストを部分空間のサイズと演算子プールのサイズに比例させる。
• 変分原理と反復的精錬を活用して、最小限の回路深さで正確なエネルギー固有値に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存のQKS手法（例：QLanczos）と比較して、収束が速く、回路が浅くなるような量子Krylov部分空間法を設計できるか？
• RQ2 時間発展状態の代わりに固有状態の残差を用いることで、励起状態計算に適した、よりコンactかつ正確なKrylov部分空間を構築できるか？
• RQ3 QKSフレームワークに前処理を組み込むことで、収束速度と数値的安定性がどのように向上するか？
• RQ4 NISQデバイスにおける統計的ノイズに対して頑健であるためには、必要な量子回路のショット数と精度レベルはどの程度か？
• RQ5 QDavidsonアルゴリズムは、C2H4のような実際の分子系において、現実的なノイズ条件下でも正確な励起状態エネルギーを再現できるか？

主な発見

• C2H4分子に対してハートリー・フォック基底状態で初期化した場合、QDavidsonアルゴリズムは1回の反復で収束を達成した。
• S0およびS2励起状態エネルギーは、それぞれ−77.115 ± 0.001および−76.375 ± 0.001として再現され、精度閾値は10−4であった。
• 必要なショット数の合計は約10^10と推定され、1回の回路評価あたり10^8ショットを要した。これは現実的なノイズ条件下でも実現可能であることを示している。
• QDavidsonは、残差駆動型かつ前処理付きの部分空間拡張により、QLanczosや他のQKS手法と比較して著しく速い収束を示した。
• 迅速な収束により回路の深さが浅く保たれ、NISQデバイスにおけるノイズ耐性が向上した。
• ハミルトニアン行列要素にランダムなノイズを加えても、数値的安定性が保たれ、統計的ショットノイズに対する耐性が確認された。