[論文レビュー] Quantum Dimensions and Quantum Galois Theory

Chongying Dong, Xiangyu Jiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、頂点作用素代数（VOA）上の加群における量子次元を導入し、その性質を確立し、有限自己同型群をもつ有理的VOAに対して完全なガロア理論を構築する。量子次元が1に等しいとき単純な電流を特定できること、部分群の包含関係によってガロア拡大を特徴付けることができること、および可能な量子次元値が{2cos(π/n) | n ≥ 3} ∪ [2, ∞)に制限されることを示している。これは、型IIの部分因子の指数に対応する値と一致する。

ABSTRACT

The quantum dimensions of modules for vertex operator algebras are defined and their properties are discussed. The possible values of the quantum dimensions are obtained for rational vertex operator algebras. A criterion for simple currents of a rational vertex operator algebra is given. A full Galois theory for rational vertex operator algebras is established using the quantum dimensions.

研究の動機と目的

• 頂点作用素代数上の加群における量子次元を定義し、体系的に研究すること。
• Perron-Frobenius理論とグラフ理論を用いて、有理的かつC₂-有限VOAにおける量子次元の可能な値を特定すること。
• 有限自己同型群Gの部分群とV^Gを含むVOAの間の完全なガロア対応を、量子次元を主要不変量として確立すること。
• 加群が単純な電流であるための必要十分条件が、その量子次元が1に等しいことであることを証明すること。
• 群代数分解V ≅ ⊕_χ W_χ ⊗ V_χにおける、加群の関連する既約表現の次元に量子次元が等しいことを示すこと。

提案手法

• 量子次元を、各次元のgraded成分比の極限として定義：limₙ→∞ (dim M_{λ+n} / dim V_n)。
• 加群のq-特徴標とモジュラーS行列を用い、Verlindeの公式とモジュラー不変性により量子次元を計算する。
• 三つの定義（成分比の極限、累積和の極限、特徴標比のq→1極限）の同値性を確立する。
• 融合行列に対するPerron-Frobenius定理を適用し、量子次元の可能な値が{2cos(π/n) | n ≥ 3} ∪ [2, ∞)に制限されることを示す。
• 群代数分解V ≅ ⊕_χ W_χ ⊗ V_χを用い、自己同型群Gの既約表現と量子次元を関連付ける。
• 群的元g = ∑_h λ_h h ∈ ℂ[G]がΔ(g) = g⊗gを満たすことを証明し、ガロア対応の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的かつC₂-有限な頂点作用素代数上の不変加群における量子次元の可能な値は何か？
• RQ2 量子次元を用いてVOAにおける単純な電流をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 有限自己同型群GをもつVOA V^G ⊂ Vに対して、量子次元を用いて完全なガロア理論を構築できるか？
• RQ4 加群の量子次元は、群代数分解における関連する既約表現の次元に等しいか？
• RQ5 量子次元は、有理的VOAにおけるS行列およびモジュラー不変性とどのように関係するか？

主な発見

• 二つの加群のテンソル積の量子次元は、それぞれの個々の量子次元の積に等しい。
• 不変加群が単純な電流であるための必要十分条件は、その量子次元がちょうど1であることである。
• 有理的かつC₂-有限なVOAにおける量子次元の可能な値は{2cos(π/n) | n ≥ 3} ∪ [2, ∞)に制限され、これは型IIの部分因子の指数の平方根が取りうる値と一致する。
• 有限自己同型群Gの任意の部分群Hに対して、[V : V^H] = o(H)、すなわちHの位数に等しい。
• Gの部分群とV^GとVの間のVOAの間のガロア対応が完全に確立され、V^HがV^Gのガロア拡大であるための必要十分条件は、HがGにおいて正規であることである。
• 分解V ≅ ⊕_χ W_χ ⊗ V_χにおける、V^G上の既約加群V_χの量子次元は、W_χの次元、すなわち対応するGの既約G-加群の次元に等しい。