[論文レビュー] Quantum Error Correction using Hypergraph States

Shashanka Balakuntala, Goutam Paul|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハイパーグラフ状態を用いた新しい量子誤り訂正方式を提案し、従来のグラフ状態よりも任意の誤りをより効率的に訂正できることを示している。ハイパーエッジ上で多量子ビット制御Z（C^kZ）操作を活用することで、同等の誤り訂正に必要なゲート操作を削減でき、特に次数≥6のハイパーエッジではその効果が顕著であり、耐故障性量子計算に向けたよりリソース効率の良い道筋を提供する。

ABSTRACT

Graph states have been used for quantum error correction by Schlingemann et al. [Physical Review A 65.1 (2001): 012308]. Hypergraph states [Physical Review A 87.2 (2013): 022311] are generalizations of graph states and they have been used in quantum algorithms. We for the first time demonstrate how hypergraph states can be used for quantum error correction. We also point out that they are more efficient than graph states in the sense that to correct equal number of errors on the same graph topology, suitably defined hypergraph states require less number of gate operations than the corresponding graph states.

研究の動機と目的

• ハイパーグラフ状態を用いた量子誤り訂正の新しい枠組みを確立し、従来のグラフ状態に基づく手法を一般化すること。
• 複数の誤りを訂正する際のグラフ状態の非効率性を是正し、よりスケーラブルでリソース効率の良い代替手法を提供すること。
• 同じトポロジー上で同一の誤り数を訂正する場合、ハイパーグラフ状態がグラフ状態よりも少ない量子ゲート操作を要することを実証すること。
• 安定化子コード理論に基づいた、ハイパーグラフ状態を用いた誤り検出および訂正の形式的条件を提示すること。
• 15量子ビットの6一様ハイパーグラフ状態が最大4つの任意の誤りを訂正可能であるという詳細な例を通じて、実用的利点を示すこと。

提案手法

• 各ハイパーエッジがk個の量子ビットを接続するように、|+⟩状態上に多量子ビット制御Z（C^kZ）操作を適用してハイパーグラフ状態を構築する。
• ハイパーグラフ状態を |Γ^k⟩ = ∏_{e∈E} C^kZ |+⟩^⊗|V| として定義し、ハイパーエッジに沿ったもつれを符号化する。
• GF(2)上での線形方程式系を用いて誤り訂正の一般条件を導出する。誤りシンディロームはハイパーエッジの接続性から導かれる。
• 安定化子形式を用いて、シンディローム方程式が一貫した解をもたらす場合に誤りが検出可能かつ訂正可能であることを検証する。
• シンディローム方程式を解いて故障した量子ビットを同定し、その解に基づいて回復操作を適用することで誤り回復を実装する。
• 同じトポロジー上で同等の誤り訂正を実現する場合のゲート複雑度を比較するため、C^kZ操作の数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグラフ状態を用いて、既存のグラフ状態ベースのコードを上回る効果的な量子誤り訂正コードを構築可能か？
• RQ2 ハイパーグラフ状態を用いた誤り訂正を実装するために必要な最小のゲート操作数は、グラフ状態と比較してどの程度か？
• RQ3 ハイパーエッジの構造（特に高次元エッジ）は、リソースオーバーヘッドの観点から誤り訂正の効率にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ハイパーグラフ状態が任意の誤りを検出・訂正可能となるための条件は何か？ そして、これらはどのように体系的に導出可能か？
• RQ5 15量子ビットの6一様ハイパーグラフ状態は最大4つの任意の誤りを訂正可能か？ もしそうならば、どのような条件下で可能か？

主な発見

• 提案されたハイパーグラフ状態ベースの誤り訂正方式は、15量子ビットの6一様ハイパーグラフ状態において最大4つの任意の誤りを正常に検出し訂正できた。
• 次数≥6のハイパーエッジでは、同じトポロジー上で同等の誤り訂正を実現する場合、ハイパーグラフ状態が要するC^kZ操作数が、グラフ状態よりも厳密に少ないことが確認された。
• 誤り訂正は、ハイパーエッジの接続性から導かれるGF(2)上での線形方程式系を解くことで実現され、一貫性のあるシンディローム同一定が保証された。
• 単一誤りから複数の重複しない誤り、および交互に発生する誤りを含む、6つのテスト済み誤り設定すべてが正常に検出し訂正された。
• ハイパーグラフの隣接行列は対称的であり、ハイパーグラフ状態はそのハイパーエッジ構造と対応するC^kZ操作によって一意に定義される。
• 構成は安定化子コードであり、回復操作はシンディローム測定と、シンディローム方程式の解に基づくユニタリ補正によって実装可能である。