[論文レビュー] Quantum gravity at the corner

Laurent Freidel, Alejandro Pérez|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、時空のコーナーにおける量子重力の一般境界シンプレクティック構造を確立し、2次元境界に誘導されるトリアッドが自然に SL(2,ℝ)×SU(2) ゲージ対称性を生じることを示している。著者らは複素構造と穿孔を用いて境界幾何の量子理論を導出し、孤立視界モデルに欠落している新しい退化しない自由度を明らかにした。その結果、ブラックホールのエントロピーとユニタリ蒸発に関する新たな知見が得られた。

ABSTRACT

We investigate the quantum geometry of $2d$ surface $S$ bounding the Cauchy slices of 4d gravitational system. We investigate in detail and for the first time the symplectic current that naturally arises boundary term in the first order formulation of general relativity in terms of the Ashtekar-Barbero connection. This current is proportional to the simplest quadratic form constructed out of the triad field, pulled back on $S$. We show that the would-be-gauge degrees of freedom---arising from $SU(2)$ gauge transformations plus diffeomorphisms tangent to the boundary, are entirely described by the boundary $2$-dimensional symplectic form and give rise to a representation at each point of $S$ of $SL(2,\mathbb{R}) imes SU(2)$. Independently of the connection with gravity, this system is very simple and rich at the quantum level with possible connections with conformal field theory in 2d. A direct application of the quantum theory is modelling of the black horizons in quantum gravity.

研究の動機と目的

• 2次元時空コーナーにおける一般相対性理論の第一順位形式から生じる境界シンプレクティック構造を特定し、厳密に導出すること。
• 境界に接する SU(2) ゲージ変換および微分同相変換から生じる「ありあまるゲージ自由度」が、2次元シンプレクティック形式によって完全に記述されることを示すこと。
• 複素構造を用いて境界幾何の正準量子化を展開し、孤立視界のそれよりも豊かなヒルベルト空間を導出すること。
• 本研究の一般境界理論と、孤立視界モデルで用いられるチャーン・サイモンズ記述との関係、特に退化幾何に関する関係を明確にすること。
• 境界微分同相変換に関連する新しい量子自由度を特定することで、ブラックホールエントロピーとユニタリブラックホール蒸発に及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• 重力の第一順位作用から境界シンプレクティックカレントを導出し、それがトリアッド場の二乗の引き戻しに比例することを示す：$\Theta = \frac{1}{2\gamma}\int_{\partial\Sigma} \delta e^i \wedge \delta e_i$。
• スピン接続が微分同相変換のラグランジュ乗数として機能する2+1次元系として境界力学を記述すること。
• 2次元境界に複素構造を導入し、穿孔に関連する調和振動子を定義することで、トリアッド自由度の量子化を可能にすること。
• ヒルベルト空間を穿孔上のフォック空間として構成し、非退化および退化（面積ゼロ）状態を含むこと。
• 弱い制約（半古典的期待値を用いて）および強い制約（演算子方程式を用いて）を導入し、標準的な孤立視界の結果を回復すること。
• コherent状態と $U(1) \subset SL(2,\mathbb{R})$ および $U(1) \subset SU(2)$ の相互作用を用いて、法線方向を幾何的に固定し、内部回転と空間回転を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールや孤立視界の仮定に依存しない、第一順位重力における境界シンプレクティック構造の一般形は何か？
• RQ2 ゲージおよび微分同相変換の対称性から生じる境界自由度が、2次元シンプレクティック形式によって完全に記述される仕組みは何か？
• RQ3 孤立視界モデルにおける対称性の簡略化を仮定しないで、境界幾何の整合的な量子理論を構築できるか？
• RQ4 退化幾何（面積ゼロの穿孔）が量子境界理論において果たす役割は何か？標準的な孤立視界状態とはどのように異なるか？
• RQ5 微分同相変換対称性を量子論的レベルで一貫して導入できるか？その結果、ブラックホールエントロピーとユニタリティにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 境界シンプレクティック構造 $\Theta = \frac{1}{2\gamma}\int_{\partial\Sigma} \delta e^i \wedge \delta e_i$ は、第一順位重力の形式から自然に導かれ、ブラックホールや視界の条件に依存しない。
• 境界自由度は $SL(2,\mathbb{R}) \times SU(2)$ の表現として完全に記述され、トリアッド場が $SL(2,\mathbb{R})$ の代数を生成し、スピン接続が微分同相変換制約を強制する。
• 制限のない量子ヒルベルト空間には、面積ゼロの穿孔を示す量子数 $|j, j, k\rangle$ でラベル付けされた状態が含まれており、これは標準的な孤立視界モデルには存在しない。
• 強演算子条件または半古典的極限による弱い制約 $g_3 - \Sigma_3 = 0$（同値に $k=0$）を課すことにより、標準的な孤立視界の結果が回復される。
• 量子数 $k=0$ かつ $m=j$ の状態は、各穿孔に対して1次元であり、内部回転と空間回転が一致する状態に対応し、幾何的に自然なゲージ固定を提供する。
• 非退化で面積ゼロの自由度の存在は、ユニタリブラックホール蒸発を支える情報のための貯水槽を示唆し、量子重力におけるこのような状況の明確な実現を可能にする。