[論文レビュー] Quantum Instruments and Conditioned Observables

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、効果の逐次積に基づく、量子観測可能量のための新しい結合確率の定義を提示する。標準的な定義よりも優れていると主張する。それは最初の測定結果における不当な加法性仮定を避けるからである。この定義は、量子の道具、条件付き観測可能量、測定モデルを統一し、有限次元量子系における一連の測定の整合性を保証するためのL"uders道具が標準的枠組みを形成することを示している。主な結果として、加法性の欠如と結合確率分布の整合性条件が得られている。

ABSTRACT

Observables and instruments have played significant roles in recent studies on the foundations of quantum mechanics. Sequential products of effects and conditioned observables have also been introduced. After an introduction in Section~1, we review these concepts in Section~2. Moreover, it is shown how these ideas can be unified within the framework of measurement models. In Section~3, we illustrate these concepts and their relationships for the simple example of a qubit Hilbert space. Conditioned observables and their distributions are studied in Section~4. Section~5 considers joint probabilities of observables. We introduce a definition for joint probabilities and discuss why we consider this to be superior to the standard definition.

研究の動機と目的

• 量子観測可能量の標準的結合確率定義における不整合、特に最初の測定結果における不当な加法性仮定を是正すること。
• 有限次元ヒルベルト空間における、量子の道具、条件付き観測可能量、測定モデルを一つの枠組みで統一すること。
• L"uders道具が、整合性のある一連の測定を保証するための標準的道具であることを確立すること。
• 標準的定義が、非可換測定において特に顕著な量子干渉を反映していないことの証明。
• 加法性を避け、量子的挙動をよりよく反映する、新しい結合確率の定義 $\mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ の導入と正当化。

提案手法

• 測定 $a$ その後 $b$ を解釈するため、効果の逐次積 $a \circ b = a^{1/2} b a^{1/2}$ を用いて、条件付き効果と観測可能量を定義する。
• 非ゼロの結果に対して、条件付き確率 $\widehat{\mathcal{P}}_\rho[(b|a)] = \mathcal{P}_\rho(a \circ b)/\mathcal{P}_\rho(a)$ を定義する。
• 観測可能量 $A$ に対して、$\mathcal{L}^A_X(\rho) = \sum_{x \in X} A_x^{1/2} \rho A_x^{1/2}$ を用いてL"uders道具を標準的道具とし、整合性と一貫性を保証する。
• 新しい結合確率の定義を導入：$\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ その後 } B_Y) = \mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$。これは最初の変数に関して非加法的である。
• 加法性を $c$ に関して定義する：$(a,b\colon c)$ は、$(a+b)\circ c = a\circ c + b\circ c$ を意味し、整合性がこの条件を満たすことを証明する。
• ${\mathbb{C}}^3$ における例を用いて、非整合な効果でも加法性を満たすことがあることを示し、加法性が整合性より弱いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ量子力学における標準的結合確率定義は、最初の測定結果における加法性に関して問題となるのか。
• RQ2 一連の量子測定に対して、一貫性があり物理的に意味のある結合確率の定義をどのように構築できるか。
• RQ3 ある観測可能量を別のものより先に測定する際、L"uders道具が一貫性を保証する役割を果たすのはなぜか。
• RQ4 逐次積 $A_X \circ B_Y$ が最初の観測可能量の結果集合に関して加法的である条件は何か。
• RQ5 物理的整合性と数学的構造の観点から、新しい結合確率定義 $\mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ は、標準的定義と比べてどのように異なるか。

主な発見

• 標準的定義 $\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ その後 } B_Y) = \mathrm{tr}(\mathcal{I}_Y^B(\mathcal{I}_X^A(\rho)))$ は、最初の測定結果における不当な加法性仮定により、整合性に欠けることが示された。
• 提案された定義 $\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ その後 } B_Y) = \mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ は加法性を避け、非可換測定において特に顕著な量子干渉をよりよく反映している。
• L"uders道具は、$A$-整合的道具として標準的道具であることが確立され、他の任意の $A$-整合的道具は、チャネルとの合成として表現可能である。
• $(a,b\colon c)$ 条件、すなわち $(a+b)\circ c = a\circ c + b\circ c$ は、弱い意味での整合性であり、一連の測定における加法性に必要な条件である。
• $\mathbb{C}^3$ における反例により、非整合な効果（$a$ と $c$）であっても、$c$ に関して加法性を満たすことがあることが示され、加法性が整合性を意味しないことが証明された。
• 直交する鋭い効果 $a$ と $b$（$a \perp b$）に対して、$c$ に関しての加法性が成り立つのは、$acb = 0$ であるときかつそのときに限り成り立つ。これは、結合確率における非加法性の明確な基準を提供する。