[論文レビュー] Quantum Lower Bound for Approximate Counting Via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Kothari, Robin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、集合 S⊆[N] における均一な重ね合わせ状態 |S⟩ と量子メンバーシップクエリの両方が利用可能な状況下で、近似カウントの量子下界を確立する。Laurent多項式（負の次数の項を含む多項式）への多項式法の新しい一般化を用いて、任意の量子アルゴリズムが Ω(√(N/|S|)) のクエリまたは Ω(min{|S|^{1/4}, √(N/|S|)}) の |S⟩ のコピーを必要とする、という証明を行う。これにより、ブラックボックスモデルにおいて QSampling が効率的な近似カウントを意味しないことが示される。

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set S ⊆ [N], in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin - Arthur (QMA) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes T quantum queries to S, and also receives an (untrusted) m-qubit quantum witness, then either m = Ω(|S|) or T = Ω(√{N/|S|}). This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of S. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between SBP, the complexity class that captures approximate counting, and QMA. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for S, a quantum algorithm is also given "QSamples" - i.e., copies of the state |S⟩ = 1/√|S| ∑_{i ∈ S} |i⟩ - or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either Θ(√{N/|S|}) queries or else Θ(min{|S|^{1/3},√{N/|S|}}) QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

研究の動機と目的

• 量子サンプリング（QSampling）とメンバーシップクエリが組み合わせて、効率的な量子近似カウントを可能にするか否かを解明すること。
• 量子近似カウントに必要な統合的リソース（クエリと |S⟩ のコピー）のタイトな下界を確立すること。
• 重ね合わせアクセスを持つ量子アルゴリズムを分析するための新技術——Laurent多項式法——を開発すること。
• メンバーシップオракルと |S⟩ 状態の両方が利用可能であっても、量子アルゴリズムが古典的手法よりもより高いスピードアップを達成できないこと。

提案手法

• 古典的多項式法を、|S| の負の累乗を含むことができるLaurent多項式へ一般化し、|S⟩ アクセスを持つ量子アルゴリズムの受容確率をモデル化する。
• |S⟩ のコピーとメンバーシップクエリの両方の影響を捉えるために、量子アルゴリズムの平均受容確率を |S| のLaurent多項式としてモデル化する。
• 実多項式と近似理論の性質を用いて、Laurent多項式の次数の下界を適用し、クエリとコピーの複雑さのトレードオフを導出する。
• Zhandry（2017）にインspiredされたハイブリッド論法を用い、混合状態 ρ_{L,w,k} と ρ_{L,2w,k} のトレース距離を比較することで、問題を単一の |S⟩ コピー数の下界に還元する。
• BBBV定理（探索の量子クエリ下界）を用いて、オラクルがより大きな集合 U に制限されている場合、サイズ w と 2w の集合を区別するには Ω(√(N/L)) のクエリが必要であることを示す。
• Laurent多項式法とトレース距離解析を組み合わせ、|S|=w と |S|=2w を区別する際のクエリ複雑さとコピー複雑さのトレードオフを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子サンプリング（QSampling）とメンバーシップクエリが組み合わせて、効率的な量子近似カウントを可能にするか？
• RQ2 量子近似カウントに必要なメンバーシップクエリ数と |S⟩ コピー数の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 多項式法をLaurent多項式を扱えるように拡張することで、重ね合わせアクセスの下で下界を証明できるか？
• RQ4 クエリと |S⟩ コピーの両方が利用可能な状況で、古典的手法よりもより良いスピードアップ（二次的を超える）を達成できるか？
• RQ5 |S| = w と |S| = (1+ε)w を区別する際の ε への最適依存関係は何か？

主な発見

• |S| = w と |S| = 2w を区別する任意の量子アルゴリズムは、Ω(√(N/w)) のメンバーシップクエリ、または Ω(min{w^{1/4}, √(N/w)}) の |S⟩ のコピーを必要とする。
• |S| = w = N^{2/3} の場合、下界は Ω(N^{1/6}) のコピーまたはクエリとなり、古典的手法に対する二次的スピードアップにとどまることを示す。
• Laurent多項式法は、重ね合わせアクセスを持つ量子アルゴリズムの振る舞いを的確に捉えており、古典的多項式法を |S| の逆数の項を扱えるように拡張した。
• コピー複雑さに対する下界 Ω(w^{1/4}) は、多項式法のみを用いた場合、Ω(w^{1/3}) までしか向上できないことが示され、根本的な障壁を示唆している。
• ハイブリッド論法により、問題が単一のコピー数の下界に還元され、より良い下界を得るには多項式法を超える技術が必要であることが示された。
• 結果は、既知の量子上界 O(√(N/w))（コピーなし）または O(√w)（クエリなし）と、多項式係数の範囲内で一致している。