[論文レビュー] Quantum mechanical path integrals in the first quantised approach to quantum field theory

James P. Edwards, Christian Schubert|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 178被引用数 34

ひとこと要約

本論文は世界線（第一量子化）パス積分法を量子場の理論に適用する方法を総括し、開放フェルミオン線、auxiliary worldline fieldsによる色、高次スピン、非可換空間、重力の最近の発展を強調し、数値法、半古典法、解析法の技法を議論する。

ABSTRACT

Perturbative quantum field theory usually uses second quantisation and Feynman diagrams. The worldline formalism provides an alternative approach based on first quantised particle path integrals, similar in spirit to string perturbation theory. Here we review the history, main features and present applications of the formalism. Our emphasis is on recent developments such as the path integral representation of open fermion lines, the description of colour using auxiliary worldline fields, incorporation of higher spin, and extension of the formalism to non-commutative space.

研究の動機と目的

• 世界線（第一量子化）アプローチの歴史と主な特徴をレビューする。
• 最近の展開を要約する：開放フェルミオン線、auxiliary worldline fieldsによる色、高次スピン、非可換空間。
• 計算戦略（worldline numerics、semiclassical、解析的ガウス法）と有効作用と重力への適用を論じる。

提案手法

• 直接的なworldline Monte Carlo（数値法）、semi-classical worldline instanton法、およびストリング風Gaussian評価技術という三つの計算アプローチを提示する。
• スカラー量子電磁力学（scalar QED）のN-光子振幅のマスタ公式を導出し、integration-by-partsとcycle replacement rulesを通じてスピノールQEDおよび非アーベル規管理の理論へ拡張する。
• 世界線のGreen’s functions（open linesにはDelta、閉ループにはG_B）を用いて振幅のコンパクトでゲージ不変な表現を得る。
• フェインマンのスピンファクターまたはauxiliary Grassmann場を用いてスピンを組み込み、worldline supersymmetryを確立する。
• Fock–Schwingerゲージを用いた定常背景場への拡張と、それに伴うGreen’s functionsおよび行列式の適応。
• 非アーベル色自由度を明示的な色因子あるいはauxiliary colour fieldsを通じて議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一量子化されたworldlineパス積分は、第二量子化によって伝統的に計算される摂動論的QFT振幅をどのように再現・整理できるか。
• RQ2 ゲージ不変構造と外部脚の配置を含む、QEDおよびQCDにおける一回、及び多回路振幅の計算において、worldline（string-inspired）アプローチの利点は何か。
• RQ3 開放フェルミオン線と非アーベル色をworldline形式に効率良く組み込むにはどうすればよいか。
• RQ4 定常背景場がworldline計算に及ぼす影響は何か、そしてそれを（Euler–Heisenberg作用、Schwinger対生成）として形式へ統合するにはどうするか。
• RQ5 worldline手法を高次スピン、非可換空間、重力へ拡張する方法は。

主な発見

• worldline形式は場の理論情報を再編成し、振幅のゲージ不変な単一表現マスタ公式を生み出す。
• Bern-Kosowerルールとcycle replacementにより、スカラーのマスタ公式からスピン情報とゲージ情報を効率的に抽出して、スピノールQEDおよびグルオン振幅を得ることができる。
• auxiliary colour fieldsは非アーベル色自由度を扱う手段を提供し、非アーベル振幅の縮退寄与を再現できる。
• ゲージ不変表現と統合された光子順序付けは、多光子・多グルオン振幅を単純化し、図のトポロジーを統一する。
• 定常背景場において、形式はEuler–Heisenbergラグランジアンおよび関連する振幅のコンパクトな表現を導出し、行列式が場の効果を符号化する。
• Worldline numerics、worldline instantons、およびGaussian（ストリング風）アプローチは、QFTのパス積分の数値・解析的評価の両方に補完的な道具を提供する。